Buscando una exposición completa de la paradoja Burali-Forti

Question

En el contexto de la ZFC, normalmente se utiliza la definición de von Neumann de los ordinales. Sin embargo, originalmente un ordinal era simplemente el orden-tipo de un conjunto bien ordenado (donde "el orden-tipo de A" puede definirse, por ejemplo, como la clase de equivalencia de todos los conjuntos ordenados que son de orden isomorfo a A; esta definición, por supuesto, ya no está permitida en ZFC, pero era común en la teoría ingenua de conjuntos anterior a ZFC).

Ahora estoy buscando una exposición completa de la paradoja de Burali-Forti, con la definición original de ordinal. Uno puede en un número de documentos y libros encontrar exposiciones similares a la siguiente citada de Wikipedia:

"Los "tipos de orden" (números ordinales) en sí mismos están bien ordenados de forma natural, y este bien ordenado debe tener un tipo de orden . Se demuestra fácilmente en la teoría de conjuntos ingenua (y sigue siendo cierto en ZFC pero no en New Foundations) que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que un fijo es él mismo. Así que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que es él mismo. Pero esto significa que , siendo el tipo de orden de un segmento inicial propio de los ordinales, es estrictamente menor que el tipo de orden de todos los ordinales, pero este último es él mismo por definición. Esto es una contradicción".

Para completar esta exposición, necesitamos pruebas de los dos hechos siguientes:

• Los ordinales están bien ordenados bajo su ordenación natural.
• El tipo de orden de todos los números ordinales menores que un fijo es él mismo.

El libro "Grundbegriffe der Mengenlehre" de Gerhard Hessenberg (1906) (que puede leerse en línea en http://www.archive.org/stream/grundbegriffede00hessgoog#page/n79/mode/1up ) presenta pruebas para estos hechos, que sin embargo me parecen inválidas (no entiendo por qué puede concluir "und umgekehrt ist jeder Zahl < ein Abschnitt in M eindeutig zugeordnet" en la página 550).

He encontrado una prueba complicada para el primer hecho, que sin embargo se basa en la inducción (sobre los números naturales) y tres aplicaciones del Axioma de Elección. Me parece que el segundo hecho se puede demostrar utilizando la inducción transfinita (la inducción transfinita, me parece, sólo se puede utilizar una vez que se ha establecido el primer hecho). Así que, en principio, creo que puedo completar la paradoja de Burali-Forti como se ha dicho, pero esta derivación completa sería muy larga y complicada.

Así que lo que realmente busco es una derivación completa más concisa o menos complicada de la paradoja Burali-Forti. ¿Puede alguien presentar tal derivación aquí, o indicarme una existente en la literatura?

Answer 1

Ahora he encontrado un libro de texto que proporciona una prueba completa de la paradoja de Burali-Forti sin hacer uso de la definición de ordinales de von Neumann: "Basic Set Theory" de Azriel Levy. Antes de proporcionar la definición de von Neumann, trabaja sólo con la suposición de que se pueden definir algunos "tipos de orden" tales que el tipo de orden de dos conjuntos bien ordenados es idéntico si son isomorfos en cuanto al orden. Basándose sólo en esta suposición, y, lo que es importante para mi interés, sin utilizar el Axioma de Fundación, muestra que la clase de ordinales no puede ser un conjunto.

Answer 2

Así que, una admisión incómoda. Nunca he leído una introducción básica a la ZFC, ni he hecho un curso sobre el tema. Así que, aunque sospecho que todo esto se puede encontrar en cualquier texto básico, no sé a cuál remitirte.

Pero no es difícil hacer todo esto a mano, sólo es tedioso. Te llevaré al punto de mostrar que los ordinales, según tu definición, están totalmente ordenados. Creo que esa es la parte que más se diferencia del caso de los ordinales de Von Neummann. El resto no es mucho más difícil, y supongo que alguien recomendará un libro de texto pronto de todos modos.

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Vamos a escribir $X \preceq Y$ si $X$ y $Y$ son conjuntos bien ordenados y existe una biyección preservadora del orden entre $X$ y un segmento inicial de $Y$ .

Lema 1 Si $X$ y $Y$ son conjuntos bien ordenados, existe como máximo una inyección que preserva el orden $X \to Y$ cuya imagen es un intervalo inicial.

Prueba: Supongamos que hubiera dos, llámalos $\phi_1$ y $\phi_2$ . Como no son lo mismo, hay un mínimo de $x \in X$ tal que $\phi_1(x) \neq \phi_2(x)$ (usando ese $X$ está bien ordenado). Dejemos que $Y' = \{ \phi_1(x'): x' < x \}$ . Desde $\phi_1(x) \not \in Y'$ el conjunto $Y \setminus Y'$ no está vacío, que su menor miembro sea $y$ . Entonces, o bien $\phi_1(x)$ o $\phi_2(x)$ no es $y$ ; decir WLOG $\phi_1(x) \neq y$ . Desde $\phi_1(x) \not \in Y'$ deducimos que $\phi_1(x) > y$ . Ahora, considere cualquier $x' \in X$ . Si $x' < x$ entonces $\phi_1(x') \in Y'$ y $\phi_1(x') \neq y$ ; si $x' \geq x$ entonces $\phi_1(x') \geq \phi_1(x) > y$ . Así que $y$ no es a imagen y semejanza de $\phi_1$ pero $\phi_1(x) >y$ es. Esto contradice que la imagen de $\phi_1$ es un intervalo inicial. QED

Vamos a escribir $X \preceq_{\phi} Y$ para significar que $\phi$ es un mapa que preserva el orden $X \to Y$ cuya imagen es un segmento inicial. Así que $X \preceq Y$ si y sólo si $X \preceq_{\phi} Y$ para algunos $\phi$ .

Corolario: Si $X \preceq Y$ y $Y \preceq X$ entonces $X$ y $Y$ son posets isomórficos.

Prueba: Dejemos que $X \preceq_{\phi} Y$ y $Y \preceq_{\psi} X$ . Entonces $X \preceq_{\psi \circ \phi} X$ . Pero también $X \preceq_{\mathrm{Id}} X$ . Así que $\psi \circ \phi = \mathrm{Id}$ . De la misma manera, $\phi \circ \psi = \mathrm{Id}$ . Así que $\phi$ y $\psi$ son mapas mutuamente inversos que preservan el orden. QED

Así, vemos que los ordinales están parcialmente ordenados bajo $\preceq$ . (Por supuesto, expresar este concepto nos saca del lenguaje de ZFC, ya que es una afirmación sobre clases). A continuación mostraremos que este orden parcial es total.

Prop. 2 Dejemos que $X$ y $Y$ ser conjuntos bien ordenados. Entonces $X \preceq Y$ o $Y \preceq X$ .

Prueba: Considere $X' := \{ x \in X : X_{\leq x} \preceq Y \}$ .

Consideremos el siguiente subconjunto de $X' \times Y$ :

$$\Phi = \{ (x,y) : \ \exists x' \in X,\ x \leq x',\ \exists \phi:\ X_{\leq x'} \preceq_{\phi} Y \ \mbox{and} \ y=\phi(x) \}$$

Afirmamos que $\Phi$ es una función. En otras palabras, afirmamos que, para cada $x \in X'$ hay exactamente una $y$ tal que $(x, y) \in \Phi$ . Hay al menos uno de estos $y$ porque podemos tomar $x'=x$ y, por la definición de $X'$ habrá mapa $\phi$ tal que $X_{\leq x} \preceq_{\phi} Y$ ; toma $y= \phi(x)$ . Para ver que no hay más de una $y$ por encima de $x$ Supongamos que hubiera $y_1$ y $y_2$ . Corresponderían a unos $(x'_1, \phi_1)$ , $(x'_2, \phi_2)$ . (No hay ningún axioma de elección aquí, ¡sólo estoy haciendo elecciones finitas!) WLOG, digamos $x'_1 \leq x'_2$ . Sea $\phi'_2$ sea la restricción de $\phi_2$ a $X_{\leq x'_1}$ . Entonces $X_{\leq x'_1} \preceq_{\phi_1} Y$ y $X_{\leq x'_1} \preceq_{\phi'_2} Y$ . Entonces, por el lema 1, $\phi_1=\phi'_2$ . Entonces $\phi_1(x) = \phi'_2(x)$ es decir, $y_1=y_2$ .

Así que, $\Phi$ es una función. Ahora es fácil comprobar (los detalles se los dejamos a ustedes) que $X' \preceq_{\Phi} Y$ . Si $X=X'$ hemos terminado. Si no, dejemos $Y' = \Phi(X')$ . Si $Y=Y'$ entonces $\Phi$ es inyectiva y sobreyectiva, por lo que su inversa es una función y tenemos $Y \preceq_{\Phi^{-1}} X$ . Si $X \neq X'$ y $Y \neq Y'$ , entonces dejemos que $x$ y $y$ sean los elementos mínimos de $X \setminus X'$ y $Y \setminus Y'$ (ya que $X$ y $Y$ están bien ordenados). Definir $\phi'$ en $X_{\leq x}$ para ser $\phi$ en $X_{<x} = X'$ y por $\phi(x)=y$ . Entonces $\phi$ se comprueba fácilmente que preserva el orden y tiene imagen un intervalo inicial, por lo que $X_{\leq x} \preceq Y$ . Esto contradice que tomamos $x$ no estar en $X'$ y hemos terminado. QED

En este punto, vemos que las clases de equivalencia de conjuntos bien ordenados forman un orden total bajo $\preceq$ .

Answer 3

Puede que quieras mirar Burali-Forti como paradoja puramente lógica (2018) de Graham Leach-Krouse:

La paradoja de Russell es puramente lógico en el siguiente sentido: a contradicción puede deducirse formalmente de la proposición de que existe hay un conjunto de todos los conjuntos no auto-membrados, en lógica pura de primer orden-la forma lógica de primer orden de esta proposición es inconsistente. forma lógica de primer orden de esta proposición es inconsistente. Este explica por qué la paradoja de Russell es portátil -por qué las versiones del paradoja surgen en contextos no relacionados con la teoría de conjuntos, a partir de proposiciones con la misma forma lógica que la afirmación de que existe un conjunto de todos conjuntos no autónomos.

La paradoja de Burali-Forti, como la de Russell, es portátil. Ofrezco la siguiente explicación para este hecho: la paradoja de Burali-Forti, como la de Russell, es puramente lógica. Concretamente, muestro que si enriquecemos el lenguaje L de la lógica de primer orden con un cuantificador de fundamentación W y adoptamos ciertas reglas de inferencia mínimas para este cuantificador, entonces una contradicción se puede deducir formalmente de la proposición de que hay existe un ordinal mayor.

Además, una proposición con la misma forma lógica que la afirmación hay un ordinal mayor puede encontrarse en el corazón de varias otras paradojas que se parecen a la de Burali-Forti. La reductio de Burali-Forti puede repetirse textualmente para establecer la inconsistencia de estas otras proposiciones. Por lo tanto, la portabilidad de la paradoja de Burali-Forti se de Burali-Forti se explica de la misma manera que la portabilidad de la de Russell: ambas paradojas implican una forma lógica inconsistente -la de Russell implica una forma inconsistente expresable en L y la de Burali-Forti implica una forma inconsistente expresable en L + W.