Demostrar que un conjunto ortonormal se convierte en una base para el espacio de Hilbert

Question

Este es un ejercicio del capítulo 8 de Análisis Real de Folland en el que estoy atascado. En realidad estoy atascado en (b). He conseguido demostrar que $H_a$ es un espacio de Hilbert y el conjunto dado es un conjunto ortonormal de $H_a$ . Sin embargo, no puedo demostrar que el conjunto dado se convierta en una base. He intentado aplicar el Teorema de Stone Weierstrass, pero la colección de combinaciones lineales finitas de los elementos del conjunto dado no parece formar un álgebra. La multiplicación de $\sqrt(2a)sinc(2ax-k)$ y $\sqrt(2a)sinc(2ax-k')$ para números enteros arbitrarios $k$ y $k'$ no parece ser expresable como una combinación lineal finita del conjunto dado.... No encuentro la manera de hacerlo. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Basándome en la parte (a), creo que quieren que uses el hecho de que $\hat{f} = \chi_{[-a,a]} \hat{f}$ y el teorema de Plancherel (es decir, la densidad de los coeficientes de Fourier).