Determinar la controlabilidad del sistema a partir de las soluciones de la ecuación de estado con entrada cero

Question

Dado es un sistema de espacio de estado invariante en el tiempo de una sola entrada y una sola salida. \begin{equation} x(t) = \left(\begin{array}{r} 5 \\ -1 \\ 4\end{array}\right)e^{-2t} \fin{sión} \begin{equation} x(t) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)e^{-2t} \fin{sión} \begin{equation} x(t) = \left(\begin{array}{r} 6 \\ 2 \\ -7\end{array} \N - derecha) e^{-t} \end{ecuación}

Las trayectorias de estado anteriores surgen de diferentes estados iniciales en el tiempo $0$ . En cada caso, la entrada al sistema $u(t)=0$ .

¿Cómo se determina si el sistema es controlable o no?

No hay suficiente información para tratar de calcular la matriz $A$ y $B$ no está dada, por lo que no se puede construir la matriz de controlabilidad. Creo que la respuesta tiene que ver con el hecho de que las trayectorias de estado no tienen la misma forma (es decir $e^{-2t}$ y $e^{-t}$ ).

¿Alguna idea?

Answer 1

Puede construir el $A$ porque los vectores y valores propios están dados. Como

$$T = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 6 \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & -7 \end{bmatrix}$$ $$\Lambda = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

Entonces, $A = T \Lambda T^{-1}$ . Ahora puede demostrar que el sistema no es controlable para cualquier $b^T = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$ .

Tenga en cuenta que cualquier $n$ es siempre controlable si $B$ es un rango $n$ matriz por lo que creo que este sistema tiene 1 entrada.