Función meromorfa doblemente periódica con polos y ceros prescritos

Question

El campo de las funciones meromórficas sobre un toro complejo $\mathbb{C} \mathbin{/} \Lambda$ es $\mathbb{C}(\wp, \wp')$ , donde $\wp$ es la función p de Weierstrass para la red $\Lambda$ . Además, para dicha función $f$ y su conjunto finito $U$ de polos y ceros se mantiene: $\sum_{ u \in U } \operatorname{ord}_u(f) = 0$ y $\sum_{ u \in U } u \cdot \operatorname{ord}_u(f) \in \Lambda$ , donde $\operatorname{ord}_u(f)$ es el orden del polo (si es negativo) o del cero (si es positivo) de $f$ en $u$ .

Si ahora algunos puntos $U$ y sus órdenes están dados, y cumplen las restricciones anteriores, creo (debido al teorema de Riemann-Roch) que existe una función meromorfa correspondiente y es única (hasta una constante multiplicativa), pero no puedo averiguar cómo construirla a partir de $\wp$ y $\wp'$ .

¿Son correctas mis afirmaciones? Y si es así, ¿cómo construir la función meromorfa en cuestión (con fórmula de forma cerrada, o recursivamente)?

Answer 1

Podemos ignorar las restricciones adicionales, ya que basta con demostrar que toda función meromorfa en $\mathbb{C}/\Lambda$ es racional en $\wp$ y $\wp'$ . Dada una función meromorfa $f$ en $\mathbb{C}/\Lambda$ existe, en efecto, una prueba estándar de que $f \in \mathbb{C}(\wp,\wp')$ . Es algo así. Escribe $f$ como una suma de una función par y una función impar: $$ f(z) = \frac{f(z) + f(-z)}{2} + \frac{f(z) - f(-z)}{2} $$ Utilizando este truco podemos suponer que $f$ es impar, o que $f$ es uniforme. De hecho, podemos suponer $f$ es una función par, ya que si $f$ es una función elíptica impar entonces $\wp' \cdot f$ es una función elíptica par. Por lo tanto, basta con demostrar que si $f$ es una función elíptica par, entonces $f \in \mathbb{C}(\wp)$ .

Para las funciones elípticas pares $f$ la identidad $$ \operatorname{ord}_w f = \operatorname{ord}_{-w} f $$ es válida para todos los $w \in \mathbb{C}$ . Además, si $2 w \in \Lambda$ entonces $\operatorname{ord}_w f$ es par, porque el $i$ -La derivada de la primera satisface $$ f^{(i)}(-w) = f^{(i)}(w) = (-1)^i f^{(i)}(-w) $$ para todos los valores impar de $i$ (la primera igualdad se deduce porque $2 w \in \Lambda$ y la última igualdad se consigue repitiendo aplicando la regla de la cadena). Por lo tanto, $$ \operatorname{div}(f) = \sum_{w \in H} n_w ((w) + (-w)) $$ para un conjunto de enteros $n_w$ , donde $H$ es la mitad de un fundamental paralelogramo para $\Lambda$ y la suma sólo tiene un número finito de términos no nulos.

Considere la función $$ g(z) = \prod_{w \in H\setminus \{0\}} (\wp(z) - \wp(w))^{n_w}. $$ Tenemos $\operatorname{div}(\wp(z)-\wp(w)) = (w) + (-w) - 2(0)$ Así que $\operatorname{div}(g)$ y $\operatorname{div}(f)$ son idénticos, excepto posiblemente en $(0)$ . Como todo divisor principal tiene grado cero, $\operatorname{div}(g)$ y $\operatorname{div}(f)$ también debe ser idéntica en $(0)$ . Por lo tanto, $f/g$ es una función elíptica sin polos, por lo que es constante. Pero entonces $f \in \mathbb{C}(\wp)$ desde $g \in \mathbb{C}(\wp)$ .