Longitud de la cuerda de una elipse cuyo punto medio está dado

Question

Encuentra la longitud de la cuerda de la elipse $$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\tag1$$ donde el punto medio es $(\frac{1}{2},\frac{2}{3})$

Mi intento: Sé que la ecuación de la cuerda de una elipse cuyo punto medio está dado es $T=S_1$ donde T es $\left(\frac{x.x_1}{25}+\frac{y.y_1}{16} - 1\right)$ y $S_1$ es $\left(\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16} - 1\right)$ . Usando esto obtengo la ecuación de la cuerda como $$\frac{x}{50}+\frac{y}{24}=\frac{17}{450}\tag2$$ Ahora, resolviendo (1) y (2), debería obtener el punto de intersección y eventualmente la longitud de la cuerda. Quiero saber si hay una forma mejor de resolver esta cuestión.

Answer 1

He aquí un enfoque híbrido geométrico/analítico:

La Proposición XX de Besant establece que si $PCp$ y $DCd$ son diámetros conjugados de una elipse y $QV$ es una ordenada de $Pp$ (es decir, es paralela a $Dd$ ), entonces $$QV^2:PV\cdot Vp::CD^2:CP^2.$$

Para nuestro problema $V=\left(\frac12,\frac23\right)$ y $C$ es el origen. La longitud de la cuerda que buscamos es $2\cdot QV$ .

La elipse tiene longitudes de semiejes $5$ y $4$ . Podemos encontrar los puntos $D$ , $P$ y $p$ mediante el mapeo a un círculo unitario y luego transformando los puntos correspondientes de nuevo a nuestra elipse. Tenemos $$V' = \left(\frac12\cdot\frac15,\frac23\cdot\frac14\right) = \left(\frac1{10},\frac1{6}\right).$$ Al normalizar esto se obtiene $P'=\left({3\over\sqrt{34}},{5\over\sqrt{34}}\right)$ que se convierte en $P=\left(5\cdot{3\over\sqrt{34}},4\cdot{5\over\sqrt{34}}\right)=\left({15\over\sqrt{34}},{20\over\sqrt{34}}\right)$ y $p=-P$ . También tenemos $D'=\left(-{5\over\sqrt{34}},{3\over\sqrt{34}}\right)$ Así que $D=\left(-{25\over\sqrt{34}},{12\over\sqrt{34}}\right)$ . Informática $QV$ es entonces cuestión de unas cuantas aplicaciones de la fórmula de la distancia entre dos puntos y un poco de aritmética. Al final, este cálculo arroja un valor de aproximadamente $9.3302$ para la longitud de la cuerda.

Por otra parte, podemos construir el acorde directamente a partir de $V'$ y $D'$ y luego calcular su longitud. Los puntos extremos de la cuerda del círculo unitario bisecada por $V'$ son, por el teorema de Pitágoras, $$V'\pm\sqrt{1-(OV')^2}\cdot\overrightarrow{O{D'}}$$ con la longitud de la cuerda $2\sqrt{1-(OV')^2}\cdot OD'$ . Las transformaciones afines conservan las relaciones de longitud de los segmentos de las líneas paralelas, por lo que la longitud de la cuerda de la elipse correspondiente es $2\sqrt{1-(OV')^2}\cdot OD$ . Evaluar esta expresión es un poco menos trabajosa que la de arriba, y derivarla no requirió descubrir una propiedad oscura, aunque fácil de probar analíticamente, de las elipses.

Por cierto, en una búsqueda en Internet aparece un problema casi idéntico en varios lugares, aunque con el punto $\left(\frac12,\frac25\right)$ en su lugar. Que $y$ -produce números mucho más "agradables" en los cálculos. La longitud de la cuerda termina siendo exactamente $\frac75\sqrt{41}$ .

Answer 2

Línea pasando por el punto medio $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3})$ es $$p(r)=\langle\tfrac{1}{2} + r \cos t, \tfrac{2}{3} + r \sin t\rangle \tag 1$$ donde $r$ es el distancia a lo largo de la línea y $t$ es el ángulo de la pendiente de la línea.

Utilizando su ecuación de la cuerda, podemos calcular $\cos t$ y $\sin t$ :

$$\frac{x}{50}+\frac{y}{24}=\frac{17}{450} \tag 2$$

$\tan t =\frac{-24}{50} = \frac{-12}{25}$ Así que $\sin t= \frac{12}{\sqrt{25^2+12^2}}$ y $\cos t = \frac{-25}{\sqrt{25^2 + 12^2}}$

Sustituir $\cos t$ y $\sin t$ en la ecuación $1$ , sustituto $p(r)$ en la ecuación de la elipse y resolver para $r$ . Esto da una cuadrática en $r$ : $$r^2 = \dfrac{332977}{15300}$$

Así que la longitud de la cuerda es $2r$ , es decir

$$2r = \frac{1}{15}\sqrt{\dfrac{332977}{17}} \approx 9.3302$$

Answer 3

Una pista:

WLOG A $(5\cos t,4\sin t)$ y

B $\left(1-5\cos t,\dfrac43-4\sin t\right)$

Ahora utiliza el hecho de que B se encuentra en la elipse dada para encontrar $t$