¿Existe una "teoría básica de los números" para las curvas elípticas?

Question

La tesis de Tate mostraba cómo analizar provechosamente $\zeta$ funciones de campos numéricos en términos de puntos adelicos en el grupo multiplicativo. En particular, combinando el análisis de Fourier y la topología, Tate dio pruebas nuevas y más limpias de la finitud del grupo de clases, el teorema de Dirichlet sobre el rango del grupo unitario y la ecuación funcional del $\zeta$ -función. El libro de texto de Weil Teoría básica de los números ha vuelto a presentar la teoría algebraica de los números desde el punto de vista de los adelantos, mostrando cómo los métodos de los adelantos pueden proporcionar pruebas sencillas y unificadas de todos los resultados demostrados en un primer curso de teoría algebraica de los números (y quizás también en un segundo curso).

He oído rumores de que se puede reescribir de forma similar la teoría de las curvas elípticas en términos adelicos, y que al hacerlo se intuye la conjetura de BSD. El artículo de Franz Lemmermeyer Las cónicas, las curvas elípticas de los pobres proporciona un breve esbozo. ¿Existe algún documento o libro de texto que exponga este panorama en su totalidad, como hizo Weil para el grupo multiplicativo, señalando las conexiones entre el lenguaje adelico y el clásico en cada paso, e idealmente discutiendo las conexiones con el BSD?

Nota: Esta cuestión tiene una historia peculiar. Vea este hilo conductor si estás interesado, pero siéntete libre de ignorar el pasado y sólo responder a la pregunta si no lo estás.

Answer 1

Dado que mi nombre suele aparecer con regularidad en este conjunto de preguntas, permítanme decir algunas cosas aquí, aunque no parezcan responder directamente a la pregunta planteada.

Cuando empecé a pensar en las cónicas a finales de los años 90, mi motivación no era reescribir la teoría de las curvas elípticas sino mostrar que ciertas cónicas tienen una estructura que es que recuerda a la de las curvas elípticas. A estas alturas, este proyecto se transformó en uno de reescribir la teoría algebraica de los números basada en nociones procedentes de la teoría de las curvas elípticas.

Esta es la idea principal. Dejemos que $K$ sea un campo numérico con base integral $\{\omega_1, \ldots, \omega_n\}$ . El objeto principal es la forma de la norma $$ F(x_1, \ldots, x_n) = \prod (x_1\omega_1 + \ldots + x_n\omega_n)^\sigma, $$ donde $\sigma$ se ejecuta sobre el $n$ incrustaciones de $K$ en ${\mathbb C}$ . Se puede comprobar fácilmente que $F$ define una variedad irreducible $V_K$ sobre los enteros. Para campos numéricos cuadráticos, $V_K$ es sólo el cónica definida por la ecuación de Pell. A continuación, trabajaremos casi exclusivamente trabajaremos en el grupo $V_K({\mathbb Z})$ de puntos integrales en $V_K$ .

El módulo de reducción $p$ de $V_K$ es suave si y sólo si $p$ no divide el discriminante $\Delta$ de $K$ . Para tales $p$ , dejemos que $N_r$ denotan el número de puntos de $V_K$ sobre el campo finito con $p^r$ elementos. Para primos que dividen $\Delta$ se puede dar una respuesta explícita a definición explícita ``omitiendo los factores repetidos'' en la reducción (tomar el radical de la $F_p$ -Álgebra ${\mathcal O}_K/(p)$ ). Definir la función zeta de Hasse-Weil $\zeta_p(s)$ como siempre; ya que el $N_r$ puede calcularse explícitamente, es bastante fácil verificar las conjeturas de Weil para $\zeta_p$ y dar fórmulas explícitas, por ejemplo para la ecuación funcional. Al extraer ciertos factores de estas funciones zeta locales se puede construir la función zeta de Dedekind para $K$ .

Ahora dejemos que ${\mathfrak a}$ denotan un ideal integral en el anillo de enteros de $K$ y considerar la variedad $$ V_{\mathfrak a} : F_{\mathfrak a}(x_1, \ldots, x_n) = N{\mathfrak a}. $$ La variedad de unidades anterior es simplemente $V_{(1)}$ . Los puntos integrales en $V_K$ (correspondiente a las unidades con norma $+1$ ) actúan sobre $V_{\mathfrak a}$ a través de la ``multiplicación'' y convertirlos en homogéneos principales homogéneos para $V_K$ . La suma de Baer de dos espacios homogéneos principales corresponde a la multiplicación de ideales. Llamamos a dos variedades equivalentes si existe una matriz unimodular que transforma los polinomios definidores en la otra. Cualquier variedad $V_{\mathfrak a}$ con un punto integral es equivalente a la variedad unitaria $V_K$ .

Un ideal ${\mathfrak a}$ se llama localmente principal si la ecuación $$ F_{\mathfrak a}(x_1, \ldots, x_n) = N{\mathfrak a} $$ es integralmente resoluble en todas las terminaciones de $K$ . Las clases de equivalencia clases de espacios homogéneos principales $V_{\mathfrak a}$ entonces forme un grupo isomorfo a $D_K/D_{lp}$ , donde $D_K$ es el grupo de ideales fraccionarios y $D_{lp}$ es el grupo de los principales locales (un ideal fraccionario $\frac1a {\mathfrak a}$ es localmente principal si ${\mathfrak a}$ es). Todo esto es esencialmente alguna forma de teoría del género (es teoría del género si la extensión es cuadrática; en campos numéricos generales creo que los ideales son localmente principales en todos los primos que no dividen $\Delta$ ), y la clase a considerar son grupos de clase en una forma ligeramente más fuerte que los grupos de clase habituales: dos ideales ${\mathfrak a}$ y ${\mathfrak b}$ son equivalentes si ${\mathfrak a} = \xi{\mathfrak b}$ para algunos $\xi \in K$ con norma positiva.

Las clases de equivalencia de los espacios homogéneos principales correspondientes a los ideales localmente principales forman un grupo llamado Tate-Shafarevich grupo $Ш_K$ (es el grupo de las variedades localmente solubles, módulo de las con un punto integral). En el caso cuadrático, se trata del grupo de clases ideales cuadradas en sentido estricto.

En el caso cuadrático se pueden definir ahora los números de Tamagawa $c_p$ simplemente fijando $$ c_p = \begin{cases} 2 & \text{ if } p \mid \Delta, \\\ 1 & \text{otherwise}. \end{cases}. $$ En un tesis de maestría escrito en 2005, M. Iwamoto ha dado una interpretación más interpretación conceptual de estos $c_p$ utilizando integrales p-ádicas (este es el único aspecto adelico de mi respuesta). Tal vez alguien en MO que domine el japonés pueda decirme (o decirnos) los resultados básicos de esta tesis - desgraciadamente nunca pasé del kanji. Para extensiones de grado superior a $2$ Todavía no sé qué va a pasar.

El punto de este ejercicio es que la fórmula del número de clase de Dedekind, es decir, la fórmula para el residuo de la función zeta de Dedekind, puede ahora puede ser enunciada en una forma totalmente equivalente a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: viene dada por $$ \frac{|Ш| \cdot \prod c_p \cdot R(V_K)}{|V_{tors}|}, $$ donde $R(V_K)$ denota el regulador (definido en términos de generadores de $V_K({\mathbb Z})$ y donde $V_{tors}$ denota el subgrupo de torsión de $V_K$ (correspondientes a las raíces de la unidad). Más exactamente deberíamos decir que podemos normalizar el regulador (es decir, la altura canónica) de manera manera que cualquier factor constante adicional de $2$ desaparecer.

Obsérvese que la finitud del grupo Tate-Shafarevich se deduce de la finitud del grupo de clase, que es un grupo construido a partir de Tate-Shafarevich y un subgrupo ``genérico'' cuyo orden está relacionado con el producto de los $c_p$ . Una pregunta es si existe un grupo similar existe en el lado de la curva elíptica - pero esto es una especulación ociosa en en ausencia de cualquier pista en esta dirección.

Las conjeturas de Weil para $V_K$ es un caso muy especial de la Weil para funciones zeta de toros algebraicos (véase el libro "Algebraic Groups and their birational invariants" de Voskresenskii). No sé cuánto de la materia sobre los espacios homogéneos principales para la acción de $V_K$ es conocido.

Agradecimiento: Algunas de las ideas anteriores surgieron en conversaciones con Jeff Lagarias y Samuel Hambleton.

Preguntas relacionadas: MO 61859 y MO 60566

Answer 2

No creo que exista tal documento o libro de texto, pero lo más parecido que conozco es "A note on height pairings, Tamagawa numbers, and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture" de Spencer Bloch, Invent. Math. v.58, no.1, pp. 65-76, 1980.

He aquí una historia abreviada, retomando donde lo dejaste: Takashi Ono escribió un artículo "On the Tamagawa number of algebraic tori", Annals of Math., v.78, no. 1, julio de 1963. En ese artículo, Ono calcula el volumen de $T^1(A) / T(F)$ , donde $T$ es un toro algebraico sobre un campo numérico $F$ y $A$ es el anillo de adele, y $T^1(A)$ denota la intersección de los núcleos de $\vert \chi \vert$ como $\chi$ se extiende sobre $F$ -caracteres racionales de $T$ . La fórmula de Ono establece que este volumen (llamado número de Tamagawa, pero no para ser confundido con los números locales de Tamagawa $c_v$ ) es igual a $ \vert Pic_{tor}(T) \vert / \vert Sha(T) \vert$ .

El numerador es el orden del subgrupo de torsión del grupo de Picard de $T$ . El denominador es el orden del grupo Tate-Shafarevich de $T$ . La mayor parte de la aritmética está contenida en la normalización de la medida en el espacio cociente $T^1(A) / T(F)$ -- esta normalización de la medida utiliza la función L (una función L de Artin) de $T$ y el caso especial $T = G_m$ corresponde a la fórmula del número de clase de Dirichlet para $F$ .

De la lectura del artículo de Ono (un artículo anterior de los Annals de 1961) se desprende que Weil y Tate influyeron en su trabajo.

Adelantándonos a 1980 (saltándonos muchas cosas estupendas para los grupos reductores), he aquí un breve resumen de lo que hace Bloch (en el documento Inventiones mencionado anteriormente). Comienza con una variedad abeliana $E$ sobre un campo global $F$ (Ya he utilizado $A$ para los adelantos). Utilizando el hecho de que la variedad abeliana dual $\hat E$ también puede verse como $Ext(E, G_m)$ Bloch utiliza la red de Mordell-Weil $L$ de $F$ -puntos racionales en $\hat E$ para construir una extensión de grupos algebraicos sobre $F$ : $$1 \rightarrow T \rightarrow X \rightarrow E \rightarrow 1$$ en el que $T$ es un $F$ -Toro dividido con una red de caracteres $L$ .

Sorprendentemente, Bloch demuestra que $X(F)$ es discreto y cocompacto en $X(A)$ . Además, lo más sugerente es que Bloch demuestra que la conjetura BSD para $E$ equivale a la conjetura de que el volumen de $X(A) / X(F)$ con respecto a una medida convenientemente normalizada, es igual a $\vert Pic_{tor}(X) \vert / \vert Sha(X) \vert$ .

Por supuesto, la esencia del enfoque de Bloch está en la normalización de la medida, que utiliza la función L de $E$ . Una vez di una charla realmente desastrosa como estudiante de posgrado sobre el documento de Bloch, en la que todo esto de la normalización de la medida se me escapó por completo. El artículo de Bloch me sigue pareciendo muy difícil y misterioso. Parece que se cita sobre todo por su novedosa construcción de los emparejamientos de altura, pero no se ha hecho mucho (públicamente) con su interpretación de la BSD.

Answer 3

Hola, es bueno que haya habido más interés en las cónicas de Pell. Hace un par de días decidí, después de leer algunas de las interesantes discusiones aquí, publicar en arXiv lo que he aprendido, arXiv:1108.1610 sobre el resultado de Franz Lemmermeyer de que Sha para cónicas es isomorfo a un subgrupo del grupo de clase estrecho de un campo cuadrático.