Aprendiendo sobre isometría a partir de las matemáticas básicas de Serge Lang; muy confundido

Question

Estoy intentando autoaprender las "Matemáticas Básicas" de Serge Lang. Actualmente estoy en la sección "Isometrías" del libro, pero estoy extremadamente confundido, por las notaciones y los conceptos que Lang utiliza.

• Lang afirma en primer lugar que al mapear un plano en sí mismo, se refiere a un asociación, que a cada punto del plano asocia otro punto del plano.

• Pero no tengo ni idea de lo que significa. En primer lugar, ¿qué es la asociación? I No entiendo lo que quiere decir con la asociación de puntos de un plano a otro punto del plano. Después, ¿qué significa mapear un plano en sí mismo?

• Lang introduce entonces esta notación PP'. Dice que el punto P' corresponde a P bajo el mapeo, o que P está mapeado en P'.

• De nuevo, pero ¿qué significa exactamente "P"? ¿Qué significa la correspondencia con P bajo el mapeo?

• Lang continúa diciendo "Al igual que usamos letras para denotar números, es útil usar letras para denotar mapeos. Así, si F es un mapeo de
  el plano en sí mismo, denotamos el valor de F en P por los símbolos F(P). También diremos que el valor F(P) de F en P es la imagen de P bajo F. Si F(P)=P', entonces también decimos que F mapea P en P'.

• De nuevo, ¿qué es un mapeo de un plano en sí mismo, y cómo se relaciona con F?

• En segundo lugar, ¿qué es una imagen de P bajo F?

• Por último, lo que hace F(P)=P'. Me recuerda a una función. Pero si es una función, ¿cuál es su entrada y cuál es su salida? ¿Y cómo se relaciona se relaciona con todo lo demás?

Perdón por escribir tanto, soy nuevo en Math StackExchange. Y estoy muy confundido con los conceptos que estoy viendo.

Answer 1

Cuando Lang habla de un plano se refiere al área/objeto sobre el que estás haciendo tus "matemáticas". Imagina que estás dibujando un mapa, entonces el "plano" es el trozo de papel sobre el que estás dibujando. Del mismo modo, si estás pintando una pelota, la pelota es tu plano (curvo). Puede haber múltiples planos y mapas a través de diferentes planos.

Cuando dice que está mapeando un plano en sí mismo, quiere decir que cualquier punto que utilice estará en ese plano (el plano es cerrado (y no importa los nuevos puntos que haga, también estarán en ese mismo plano).

Volvamos al ejemplo del mapa:

Digamos que estás diseñando una ciudad con una calle en el centro. Quieres poner casas a ambos lados de la calle y, como quieres que tu nueva ciudad sea bonita y limpia, quieres que todas las casas estén a la misma distancia de la calle.

Para conseguirlo, puedes empezar en medio de la calle y caminar hacia la izquierda 500 pies. Esta será la casa A. Luego vuelves a la calle y caminas hacia la derecha 500 pies. Llamaremos a esta casa A' (se pronuncia "A prime").

Al seguir caminando por la calle y colocar las casas a ambos lados, te das cuenta de que por cada casa a la izquierda, hay una casa correspondiente a la derecha (que también está a 500 pies de la calle). Así, por cada casa A, hay una asociado casa, A'. Como las casas están ambas a 500 pies de la calle, esta asociación es una isometría*. Siguiendo, tendrías las casas B y B', C y C', etc...

Podemos denotar esto como una asociación, $A \mapsto A'$

O como una función F (llamémosla función de planificación de la casa): $$F(A)=A'$$

lo que significa que cada vez que ponga una casa en el lado A de la calle, construiré una casa a 500 pies en el lado A'. Todas las casas de la izquierda son las dominio de nuestra función de planificación de casas, y todas las casas de la derecha son las imagen de la función de planificación de la casa (la imagen de F en A)...

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*Es importante recordar que las isometrías conservan las distancias y los ángulos, por lo que no sólo las casas tienen que estar a la misma distancia de la calle, sino que tampoco pueden estar en ángulos diferentes con respecto a la calle (digamos que una es perpendicular y otra diagonal).

Answer 2

Trata de introducir el concepto de función, pero quiere que te acerques a él sin suposiciones previas ni conceptos erróneos. El concepto erróneo más importante del que quiere desengañarte es que una función debe tener alguna regla definida. No es así.

Una "asociación" o "mapeo" significa exactamente lo que parece. Michael está asociado a los panecillos ingleses si al hacer referencia a Michael siempre obtenemos panecillos ingleses. El punto $(2, 3)$ "asociado" al punto $(-31, 7)$ si digo "cada vez que señalas el $(2,3)$ en su copia del plano señalaré $(-31,7)$ en mi copia del avión".

Ahora un mapeo sería si asociamos cada punto con un punto "Si señalas $(0,0)$ Señalaré $(53,9)$ . Si usted señala $(0, 0.0000001)$ Señalaré $(3,17)$ . Si usted señala $(0, 0.0000002)$ Señalaré $(-19.5, \sqrt \pi)$ . Si señalas ....."

Así que

Tú || Yo

$(2,3)\mapsto (-31, 7)$

$(0,0)\mapsto (53,9)$

$(0, 0.0000001)\mapsto (3,17)$

$(0, 0.0000002)\mapsto (-19.5, \sqrt \pi)$

etc. ¿Es un mapeo de su copia de $\mathbb R^2$ a mi copia de $\mathbb R^2$ .

Espero que esto resuelva los puntos 1, 2 y 3.

¿Qué hace $P'$ ¿quieres decir? Sólo que esa es la etiqueta que elegimos para dar al punto que se asocia a $P$ . Es sólo una taquigrafía. $(2,3)\mapsto (-31, 7)$ así que $(2,3)' = (-31,7)$ . Es sólo una forma de referirse a los puntos a los que se mapea si no conocemos realmente sus valores específicos.

Pasemos al punto 5.

¿Qué es? $F$ .

Así que tenemos esta enorme cartografía donde

$(2,3)\mapsto (-31, 7)$

$(0,0)\mapsto (53,9)$

$(0, 0.0000001)\mapsto (3,17)$

$(0, 0.0000002)\mapsto (-19.5, \sqrt \pi)$

Y para cualquier posible $(x,y)$ hay algo de $(x,y)'$ para que $(x,y) \mapsto (x,y)'$ .

Esta colección de todo los mapeos punto por punto es una colección de algunos mapeos $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ .

Queremos referirnos a este colección con algún nombre. La llamamos $F$ .

De modo que $(2,3)\mapsto (-31, 7)$ . Así que decimos $F((2,3)) = (-31, 7)$

Et $(0, 0.0000002)\mapsto (-19.5, \sqrt \pi)$ por lo que decimos $F((0, 0.0000002)=(-19.5, \sqrt \pi)$

Y por cada $P = (x,y)$ para cualquier punto $P=(x,y)\mapsto (x,y)' = P'$ y decimos $P((x,y)) =F(P) = P'=(x,y)'$ .

Me recuerda a una función.

Es curioso que digas eso ....

Es es una función.

Pero si es una función, ¿cuál es su entrada y cuál es su salida?

Los puntos del plano son su entrada y los puntos del plano son su salida.

¿Y cómo se relaciona con todo lo demás?

No lo sabemos. Esto es sólo la idea abstracta de una función. En realidad no hemos definido ninguna específico relaciones y valores.

Bueno, vale, para este ejemplo elegí 4 puntos arbitrarios como entrada y los mapeé a 4 puntos arbitrarios como salida.

Pero eso era sólo para dar un ejemplo. Hay un número infinito de funciones y mapeos que podríamos tener. Lang sólo está tratando de explicar lo que el idea de una función es en abstracto.

...

Y una función es simplemente: un mapeo colectivo desde un conjunto $X$ a otro conjunto $Y$ donde cada elemento individual del conjunto $X$ se asigna o se asocia a un elemento específico de $Y$ .

Y eso es todo de la que habla. Es que ambos $X$ y $Y$ son la misma cosa. Los puntos de un plano.