Aunque en general la geometría no conmutativa se comporta de forma bastante diferente a la geometría conmutativa en lo que se refiere a las propiedades locales-globales (descenso), hay versiones de la geometría no conmutativa "suave" que se comportan de forma muy parecida a la geometría conmutativa en este aspecto. El ejemplo arquetípico es la supergeometría.
Se puede argumentar que la razón por la que la teoría de la supergeometría procede en estrecha analogía con la geometría diferencial ordinaria es simplemente porque un álgebra supercomutativa es sólo un álgebra conmutativa, pero interna a una categoría monoidal simétrica no trivial. Por otro lado, cuando se trata de las propiedades locales y el hecho de que las topologías de Grothendieck funcionen bien en la supergeometría, esto tiene que ver más específicamente con el hecho de que la no conmutatividad está toda en los ideales nilpotentes de las superálgebras supercomutativas, y por lo tanto es irrelevante para los recubrimientos y el descenso.
Esto nos lleva a preguntarnos si hay algo que ganar en el desarrollo de una geometría basada en duales formales de aquellas álgebras no conmutativas para las que "toda la no conmutatividad está en los ideales nilpotentes", por ejemplo, de forma que al cotizarse el ideal nilpotente máximo de dos lados se conviertan en conmutativas. La supergeometría sería un caso especial de esto, pero sería más general.
¿Se ha investigado algo así de forma sistemática en algún lugar? ¿Hay algún nombre relacionado con esto que se pueda buscar para encontrar más?
