Construir un polinomio con coeficientes específicos

Question

American Mathematical Monthly, octubre de 1962:

"Dejemos $P(x)$ sea un polinomio con coeficientes reales. Demuestre que existe un polinomio no nulo $Q(x)$ con coeficientes reales tales que $P(x)Q(x)$ tiene términos que son todos de un grado divisible por $10^9$ ."

Me pregunto si mi solución/razonamiento es correcto, ya que parece un poco simplista y no utiliza realmente la condición de los coeficientes reales.

Primero vamos a sustituir $10^9$ con un $k$ . $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ es el polinomio dado, y $Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_0$ es el polinomio que podemos elegir libremente. Queremos $C(x)=P(x)Q(x)=c_{m+n}x^{m+n}+...+c_0$ donde $c_i = 0$ si $k\nmid i$ .

Obtenemos el conjunto de relaciones

$c_0=a_0b_0$

$c_1=a_0b_1+a_1b_0$

...

$c_{m+n}=a_nb_m.$

Pero como podemos elegir $m$ sea arbitrariamente grande, podemos garantizar que hay más grados de libertad ( $b_i$ ') que hay restricciones en el $b_i$ 's. Es decir, hay $k-1$ restricciones de la forma $c_i=0$ por cada $k$ coeficientes $c_i$ . Si aumentamos $m$ el grado de nuestro polinomio libre, por algún número natural $d$ tenemos un extra $d$ grados de libertad en forma de $b_i$ para jugar. Mientras tanto, el número de $c_i$ coeficientes en el producto también es $d$ pero el número de restricciones adicionales sería algo así como $d-\frac{d}{k}$ . Así que al final tenemos suficiente libertad para elegir el $b_i$ de manera que se satisfagan las restricciones. Además, las ecuaciones de las restricciones sólo implican suma/resta/multiplicación/división, por lo que podemos mantener los números reales.

Esto parece demasiado sencillo. He escrito esto en forma de matriz, y siento que podría haber alguna manera de que esto podría fallar.

Answer 1

Una pequeña observación a la referencia que das. Sería útil que añadieras un número de página y/o de artículo/problema, porque es bastante difícil encontrarlo en una revista de más de 100 páginas por número.

En principio tienes razón y este enfoque funcionará. Sin embargo, tendría que demostrar que el proceso da lugar a una solución adecuada para determinados valores de $m$ . Además, para una prueba adecuada hay que ser un poco más preciso en la formulación. "Más o menos como" es algo que debe usarse más como un esbozo de un enfoque que como una prueba.

La primera observación es que no todos los valores de $m$ son posibles. De hecho, la pregunta implica que el polinomio $C(x)$ es de un grado que es múltiplo de $k$ . Si quieres mejorar tu enfoque, te recomendaría elaborar algunos ejemplos sencillos como $P(x)=x+1$ o $P(x)=(x+1)(x+2)$ y valores pequeños de $k=2,3$ . Encontrará cuándo y cómo los coeficientes $b_i$ se determinan y también que esos coeficientes $c_i$ que son distintos de cero no pueden ser elegidos libremente.

A continuación voy a esbozar un enfoque diferente, que también permite construir explícitamente los polinomios $Q(x)$ y $C(x)$ y, en particular, que siempre existe una solución tal que el grado de $C(x)$ es $n k$ .

Supongamos que consideramos $P(x)=x-a$ para alguna constante $a$ entonces una posible solución viene dada por $Q(x)=\sum_{i=0}^{k-1} x^i a^{k-1-i}$ porque $C(x) = P(x) Q(x) = x^k - a^k$ .

Más en general para un polinomio arbitrario de grado $n$ : $P(x)=\prod_i^n (x - a_i)$ existe un polinomio $Q(x)$ de grado $n(k-1)$ tal que $C(x)=P(x) Q(x) = \prod (x^k - a_i^k)$ que sólo contiene potencias de $x$ que son múltiplos de $k$ .

Si todas las raíces de $P(x)$ fueran reales estaríamos acabados, pero en general no será así. Sin embargo, con $P(x)$ teniendo coeficientes reales sabemos que si el valor complejo $a$ es una raíz entonces también su conjugado complejo $a^*$ es una raíz. Dejo como ejercicio demostrar que también con pares de raíces complejas los polinomios $Q(x)$ y $C(x)$ tendrá sólo coeficientes de valor real.

Como observación final: el grado de $C(x)$ no necesita ser más que $n k$ pero puede ser más pequeño. Como ejemplo sencillo, considere $P(x)=(x-1)(x+1)$ y $k=4$ . Entonces obtendríamos del método mencionado $C(x) = (x^4 - 1)(x^4 -1)$ de grado 8, pero también sabemos que $C(x) = (x^4 - 1)$ es una solución correcta.