Supongamos que $X$ es un espacio Hausdorff localmente compacto. Para una medida de Radon $\mu$ en $X$ , dejemos que $I_{\mu}\colon C_{c}(X)\to\mathbb{C}$ sea la función lineal positiva definida por $I_{\mu}(f):=\int_{X}f \ \text{d}\mu$ . El Teorema de la representación de Riesz imples que la asignación $\mu\mapsto I_{\mu}$ implementa una correspondencia uno a uno entre las medidas de Radon (positivas) en $X$ y los funcionales lineales positivos en $C_{c}(X)$ . Así que se podría definir un integral en $X$ como un funcional lineal positivo $I\colon C_{c}(X)\to\mathbb{C}$ . Esta definición no se basa en la teoría de la medida. Me preguntaba si podríamos demostrar el teorema de Fubini en este contexto, es decir, sin referirse a la teoría de la medida.
Más concretamente, ¿alguien conoce una prueba o referencia de la siguiente afirmación sin teoría de la medida?
Dejemos que $I$ y $J$ sean funciones lineales positivas (es decir, integrales) en espacios de Hausdorff localmente compactos $X$ y $Y$ respectivamente. Para $f\in C_{c}(X\times Y)$ y $y\in Y$ definimos $f^{y}\colon X\to\mathbb{C}$ a través de $f^{y}(x):=f(x,y)$ . Para $x\in X$ definimos $f_{x}\colon Y\to\mathbb{C}$ de manera similar. Las funciones $x\mapsto J(f_{x})$ y $y\mapsto I(f^{y})$ se apoyan de forma compacta y $$I(x\mapsto J(f_{x}))=J(y\mapsto I(f^{y})).$$
