Probabilidad de elegir una moneda sesgada $C$ que tiene una probabilidad $3/15$ de obtener cabezas, asumiendo que obtuvimos cabezas en el primer lanzamiento

Question

Pregunta completa: hay 3 monedas sesgadas $A$ , $B$ y $C$ cada uno con probabilidad $5/15, 3/15, 1/15$ de obtener cabezas respectivamente. Además, tienen probabilidad $1/4$ para $A$ , $1/4$ para $B$ y $1/2$ para $C$ de ser elegido. Si se elige una moneda y se lanza y el resultado es cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea $C$ ?

Mi enfoque: Ya que la moneda elegida fue $C$ y el resultado fue la cabeza simplemente multiplicamos la probabilidad de que ambas cosas sucedan en relación con $C$ : $$\frac1{15} \cdot \frac12 = \frac1{30}$$

Answer 1

Un argumento intuitivo basado en el Teorema de Bayes, dice que obtener cabezas era posible de una de tres maneras diferentes:

1. Dibujar $A$ con probabilidad $1/4$ y se lanza a la cara con la probabilidad $5/15$ , probabilidad total de $1/4 \times 5/15 = 1/12$ .
2. Dibujar $B$ : $1/4 \times 3/15 = 1/20$ .
3. Dibujar $C$ : $1/2 \times 1/15 = 1/30$ .

Por lo tanto, la posibilidad de que $C$ fue dibujado es $$ \frac{1/30}{1/12 + 1/20 + 1/30} = \frac{1}{5/2+3/2 + 1} = \frac15. $$

Answer 2

Lo que has calculado es la probabilidad de que la moneda $C$ se elige y se obtiene una cabeza $H$ Es decir $P(H \cap C)$ . No es igual a $P(C|H)$ .

Guía: Utilizar la regla de Bayes, es decir

$$P(C|H)= \frac{P(H|C)P(C)}{P(H)}=\frac{P(H|C)P(C)}{P(H\cap A)+P(H \cap B)+P(H \cap C)}$$