¿Por qué importa el "orden" al calcular la probabilidad de que ninguna de las siete personas haya nacido en invierno?

Question

RESUMEN

He aquí un problema del curso Stats 110 de Harvard.

Para un grupo de 7 personas, encuentre la probabilidad de que las 4 estaciones (invierno, primavera, verano y otoño) ocurran al menos una vez entre sus cumpleaños, suponiendo que todas las estaciones tienen la misma probabilidad.

El problema y su solución se encuentran aquí .

Lo difícil para mí es calcular la probabilidad de que ninguna de las siete personas haya nacido en invierno. No entiendo por qué "el orden importa" aquí. (Entiendo la parte de inclusión-exclusión del problema principal, pero no la parte de "el orden importa").

LO QUE HE PROBADO

Como parte de este problema, necesito calcular la probabilidad de que ninguna de las siete personas cumpla años en invierno. Intenté calcular esto considerando a las personas como indistintas y agrupándolas en 4 categorías diferentes: cumpleaños en invierno, primavera, otoño o verano. Pensando así, utilicé la fórmula de "estrellas y barras" para calcular la probabilidad de que ninguno de los cumpleaños cayera en la categoría de invierno. Esto se puede calcular como

$$P(A) = \dbinom{7 + 3 - 1}{3} / \dbinom{7+4-1}{4} $$

LO QUE HIZO HARVARD

Harvard dice que esto es incorrecto y que como el orden importa, el cálculo es (el mucho más fácil)

$$P(A) = (3/4)^7$$

Parece que podría ir en cualquier dirección, y de hecho puedo modelar cualquiera de los dos en R. Entonces, ¿qué estoy haciendo mal?

Answer 1

La fórmula "Estrellas y barras" cuenta el número de formas de ordenar una lista de estrellas y barras. Da una respuesta errónea para tu problema porque estos arreglos no son igualmente probables, así que no puedes simplemente dividir el número de arreglos "favorables" entre el número total de arreglos posibles.

Por ejemplo, al asignar estaciones de nacimiento (llámese A, B, C, D) a cuatro personas, la disposición ****||| es menos probable que la disposición *|*|*|* . ¿Por qué? Piensa en alinear a estas cuatro personas en una fila y que cada una elija una estación. La primera disposición de estrellas y barras corresponde a AAAA, mientras que la segunda corresponde a ABCD, ACBD, ADBC, ADCB, y muchas más, para un total de $4!$ posibilidades. Este es el sentido en el que el orden importa el $4!$ posibilidades son distintas, y en su conjunto no tienen la misma probabilidad que la única posibilidad AAAA.

Answer 2

Las distintas posibilidades de Estrellas y Barras no son todas igual de probables. Para poner un ejemplo más sencillo, lancemos una moneda justa $10$ tiempos. Las posibilidades de Estrellas y Barras "(Número de caras, Número de colas)" son $(0,10)$ , $(1,9)$ y así sucesivamente hasta $(10,0)$ . Hay $11$ tales posibilidades.

Sin embargo, $10$ las colas rectas tienen probabilidad $\frac{1}{1024}$ , mientras que $9$ colas y una cabeza (en algún lugar) tiene probabilidad $\frac{10}{1024}$ . El caso "medio" $(5,5)$ es la más probable.

Utilizando un modelo de probabilidad que asigna probabilidades iguales a los $11$ Las posibilidades de estrellas y barras darían resultados contrarios al comportamiento real de las monedas justas lanzadas.

Observación: Allí son situaciones en las que se consigue una buena concordancia con la realidad asumiendo que las posibilidades de las Estrellas y las Barras son todas igual de probables. Para ver un ejemplo, consulte Estadística de Bose-Einstein .

Answer 3

La razón por la que "el orden importa" es que se obtiene una respuesta diferente. En los problemas de probabilidad en los que el orden sí importa no asunto, puedes hacer los cálculos bajo la suposición de que el orden hace asunto, y luego descubrir que al contar todas las posibles secuencias de la $7$ personas simplemente has multiplicado tanto el numerador como el denominador de cada fracción por un factor de $7!$ . A menudo, en estos casos se podría haber tratado el $7$ personas como un conjunto desordenado y llegó a la misma respuesta con mucho menos trabajo.

Aquí no vas a poder hacerlo. El hecho de que $7!$ no divide a ninguno de los dos $3^7$ ni $4^7$ es una pista.