Limitaciones/descomposición del teorema de Mermin-Wagner

Question

Teorema de Mermin-Wagner dice que las simetrías continuas no pueden romperse espontáneamente a temperatura finita en sistemas con interacciones de rango suficientemente corto en dimensiones $d 2$ . (esto está directamente copiado de la wiki).

Sólo me pregunto que, si pudiéramos añadir alguna interacción, como la interacción Dzyaloshinskii-Moriya (DM), o cambiar otras condiciones (aunque actualmente no sé qué condición cambiar), para hacer Teorema de Mermin-Wagner ¿ya no funciona?

También me pregunto si hay algún método para hacer que el teorema de Mermin-Wagner funcione en una dimensión superior, como $d=3$ ?

Answer 1

Como comenta @NorbertSchuch, un teorema no puede tener contraejemplos. Bueno, al menos esto es cierto para lo que los matemáticos llaman teoremas. Por lo tanto, considero que la pregunta se refiere a una forma de violar la "versión de los físicos del teorema de Mermin-Wagner", que diría algo así como "una simetría continua no puede romperse espontáneamente en dimensiones $1$ y $2$ a temperatura positiva" . En esta forma (que es la forma en que a menudo se ve este resultado en la literatura física), hay, por supuesto, contraejemplos y estos últimos se pueden encontrar tratando de eliminar algunos de los supuestos de las versiones matemáticamente precisas de este teorema.

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Probablemente la forma más sencilla de violar el teorema de Mermin-Wagner (versión de los físicos) es considerar un sistema con interacciones de rango suficientemente largo. Por ejemplo, consideremos el modelo (clásico) XY en $\mathbb{Z}^2$ con el Hamiltoniano $$ H=-\sum_{i\neq j} J_{|j-i|} S_i\cdot S_j, $$ donde $J_r = r^{-\alpha}$ . Entonces, para cualquier $\alpha\geq 4$ se aplica el teorema de Mermin-Wagner (véase, por ejemplo, este documento ), pero para cualquier $\alpha<4$ falla: hay magnetización espontánea a bajas temperaturas (véase, por ejemplo, este documento ).

En cuanto a tu segunda pregunta, no creo que haya ninguna forma de hacer que el teorema de Mermin-Wagner funcione en sistemas de dimensión realmente mayor que $2$ .

Answer 2

$\newcommand{\pd}{\partial}\newcommand{\d}{\mathrm{d}}$ Traigo de nuevo esta vieja pregunta para complementar la otra respuesta con lo que ocurre en $d\geqslant 3$ . Una versión de Mermin-Wagner válida para dimensiones superiores puede formularse utilizando simetrías de forma superior.

Permítanme primero recordarles lo que son las simetrías de forma superior. Como sólo te interesa el caso continuo, lo formularé todo teniendo en cuenta las simetrías continuas, pero se puede extender a las simetrías discretas. El teorema de Noether afirma que para toda simetría continua existe una corriente conservada: $$\pd_\mu J^\mu(x) = 0 \tag{1}.$$ De forma equivalente, se puede construir una forma única, $J_{1}(x):= J_\mu(x)\,\d x^\mu$ y entonces (1) se convierte en $$\d \star J_{1}(x) = 0.$$ A $p$ -La simetría de forma es una simetría con una conservación $(p+1)$ -forma actual, $J_{p+1}(x)$ , $$\d \star J_{p+1}(x) = 0.\tag{2}$$ En notación de índice (2) se lee $\pd_{\mu_0} J^{[\mu_0\mu_1\cdots\mu_{p}]}(x)=0$ , donde $[\cdots]$ denota antisimetría con respecto a todos los índices. En esta formulación, una simetría ordinaria es una $0$ -forma de simetría.

Con respecto a estos índices se puede formular un teorema de Mermin-Wagner como sigue [GKSW15] :

Teorema superior de Mermin-Wagner: Un continuo $p$ -La simetría de la forma no puede romperse espontáneamente en las dimensiones $d p + 2$ .

Por ejemplo, las simetrías continuas de una forma pueden romperse en $d>3$ deben ser ininterrumpidos en $d=3$ y $d=2$ mientras que no existen en absoluto en $d=1$ (no hay $2$ -en una dimensión). Las simetrías de dos formas deben ser ininterrumpidas en $d=4$ y $d=3$ y no existen en $d\leqslant 2$ y así sucesivamente.

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Referencias:

[GKSW15] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg y B. Willett, Simetrías globales generalizadas JHEP 02 , 172 (2015), doi: 10.1007/JHEP02(2015)172 (arXiv: 1412.5148 )