La k-ésima diferencia de la secuencia $n^{k}$ es constante e igual a $k!$

Question

Definir el k-ésima diferencia de una secuencia $\{a_n\}$ inductivamente como sigue:

• El $1$ -diferencia es la secuencia $\{b_n\}$ dado por $b_n=a_{n+1}-a_n$
• El " $k+1$ " -la diferencia es la secuencia $\{b_n\}$ dado por $b_n=c_{n+1}-c_n$ , donde $\{c_n\}$ es el $k$ -ésima diferencia de la secuencia $\{a_n\}$ .

Demuestre que, dada la secuencia $\{a_n\}$ tal que $a_n=n^k$ para un fijo $k \in \mathbb{N}$ El $k$ -diferencia de este $\{a_n\}$ es una secuencia constante e igual a $k!$

Answer 1

Para una función $f: \mathbb N \to \mathbb N$ , denótese por $\Delta f$ su primera diferencia, es decir $$\Delta f(n) = f(n+1) - f(n).$$ Tenga en cuenta que $\Delta$ es lineal: $$\Delta(f+g) = \Delta f + \Delta g, \quad \Delta(af) = a\Delta(f)$$ para las funciones $f,g: \mathbb N \to \mathbb N$ y las constantes $a \in \mathbb N$ .

Ahora dejemos que $f_k(n) = n^k$ y utilizar la inducción para demostrar $\Delta^k f_k(n) = k!$ . Esto es claramente cierto para $k = 1$ , por lo que se supone que $k > 1$ . Tenemos $$\Delta f_k(n) = (n+1)^k - n^k = \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k}{i} n^i = \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k}{i} f_i (n).$$ Así que $$\Delta^k f_k = \Delta^{k-1} \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k}{i} f_i = \sum_{i=0}^{k-1}\binom{k}{i}\Delta^{k-1} f_i = \binom{k}{k-1} (k-1)! = k!$$ donde utilizamos $\Delta^{k-1} f_i = 0$ para $i < k-1$ .

Answer 2

Sugerencia: tome la primera diferencia y observe el monomio principal (utilice las partes pertinentes de la expansión binomial de $(n+1)^k$ ). A continuación, utilice la inducción, ignorando todos los monomios menores.