¿Es necesario que una función schur-concava sea simétrica?

Question

¿Es necesario que una función schur-concava sea simétrica? Si no es así, ¿cómo podemos comprobar la schur-concavidad de una función no simétrica?

Conozco este lema (condición schur, este libro )

Dejemos que $\mathcal{I} \subset \mathbb{R}$ sea un intervalo abierto y que $f: \mathcal{I}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea continuamente diferenciable. Condiciones necesarias y suficientes para $f$ para ser schur-concavo en $\mathcal{I}^n$ son, $f$ es simétrica en $\mathcal{I}^n$ y,

$$(x_1 - x_2)\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} - \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\right) \le 0$$

Answer 1

Sugerencia : Si $x \in \mathcal{I}^n$ y $x \pi \in \mathcal{I}^n$ para cualquier permutación $\pi$ tenemos $x \succ x \pi \succ x$ Así que si $f$ es cóncavo (o convexo) de Schur, debemos tener $f(x) \le f(x\pi) \le f(x) \implies f(x) = f(x\pi)$ para cualquier permutación de este tipo.