Como antes, he recibido una respuesta de este sitio que el teorema de Bolzano Weierstrass es cierto para los espacios normados de dimensión finita, pero no para los espacios de dimensión infinita. Esto, en particular => todos los espacios normados de dimensión finita son completos (en el sentido de que toda secuencia de Cauchy converge (con respecto a la norma)). Sin embargo, ¿es cierto que todo espacio vectorial normado es completo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Michael Greinecker
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Dejemos que $C[0,1]$ sea el espacio de las funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ . Entonces $$\|f\|=\int_0^1 |f(x)|dx$$ define una norma en este espacio. La secuencia de funciones definida por $$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{if } x \leq 1/2,\\ 1 & \text{if } x \geq 1/2+1/n,\\ n(x-1/2) & \text{if } 1/2\leq x\leq 1/2+1/n. \end{array} \right.$$
es Cauchy, pero no converge. He reciclado la secuencia de mi respuesta aquí .
Rudy the Reindeer
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Bien, aquí vamos: toma el espacio vectorial unidimensional sobre $\mathbb Q$ con la norma habitual $|q|$ . Entonces se puede encontrar una secuencia de Cauchy que converge a un irracional, por lo que el espacio no es completo.
O bien: secuencias que son distintas de cero sólo en un número finito de lugares (sobre $\mathbb R$ ) y puede tomar la norma para ser el $\ell^1$ norma, es decir $\|x\| := \sum_i |x_i|$ .
