¿Cuál es el automorfismo en $\mathbb R$ que mapea $\pi$ a $-\pi$?

Question

En la clase de lógica matemática, he aprendido que el único isomorfismo en $\mathbb R$ es solamente la identidad ya que el isomorfismo debe preservar la relación de orden de los reales.

Pero en mi libro de álgebra abstracta, el problema dice:

Demuestra que existe un isomorfismo de campos $f: \mathbb R\rightarrow \mathbb R$ que mapea $\pi$ a $-\pi$.

¿Tiene sentido?

Answer 1

Si tu frase de texto plantea el problema de esa manera, entonces es incorrecto: dado que el orden en $\mathbb{R}$ es definible a partir de la estructura de campo ($a\le b\iff\exists c(a+c^2=b)$), cualquier automorfismo de campo debe preservar el orden, y a partir de esto (como bien sabes) no es difícil mostrar que no hay automorfismos de campo no triviales en absoluto.