¿Es cierto que si $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es holomorfa, entonces su función derivada también es holomorfa?
¿Cómo se puede demostrar? En caso de que sea cierto.
Gracias.
Respuesta
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Como se puede utilizar la fórmula integral de Cauchy, considere una $z_0$ en el ámbito de la definición de $f$ y un disco $D_{3r}(z_0) = \{ z : \lvert z - z_0\rvert < 3r\}$ que está contenida en el dominio. Entonces, para $z \in D_r(z_0)$ tenemos la representación
$$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_{2r}(z_0)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta.\tag{1}$$
Para $z \in D_r(z_0)$ (en realidad, $z\in D_{2r}(z_0)$ pero alejémonos lo suficiente del contorno para tener un límite uniforme para el integrando), se puede diferenciar bajo la integral por el teorema de convergencia dominada, y diferenciando se obtiene
$$f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{2r}(z_0)} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta,$$
que puede volver a diferenciarse bajo la integral. Etc. ad infinitum.
Alternativamente, podemos desarrollar el integrando en $(1)$ en una serie geométrica,
$$\begin{align} \frac{1}{\zeta - z} &= \frac{1}{\zeta-z_0}\cdot \frac{1}{1- \frac{z-z_0}{\zeta-z_0}}\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(\zeta-z_0)^{n+1}}. \end{align}$$
Como la serie converge uniformemente en el contorno, y $f$ está acotado en él, podemos intercambiar la integración y la suma, por lo que
$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_{2r}(z_0)} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta \right)(z-z_0)^n\tag{2}$$
y la serie de potencias $(2)$ se puede diferenciar con frecuencia arbitraria por consideraciones generales sobre las series de potencias.
