Entre cualquier $11$ enteros, suma de $6$ de ellos es divisible por $6$

Question

Utilizando el principio de la colombofilia, demuestre que entre cualquier $11$ enteros, suma de $6$ de ellos es divisible por $6$ .

Pensé que podemos estar seguros de que tenemos $6$ impar o $6$ números pares entre $11$ Supongamos que tenemos $6$ Impares enteros. Obviamente la suma de estos $6$ Los números Impares son divisibles por $2$ por lo que queda por demostrar que esta suma es divisible por $3$ también. ¿Pero cómo?

Answer 1

Primero demostramos que entre 5 enteros cualesquiera, la suma de 3 de ellos es divisible por 3. Las clases de residuos módulo 3 son $[0], [1], [2]$ . Por el principio de Pigeonhole, tenemos dos casos:

1. cada una de estas clases de residuos debe tener al menos uno de los cinco enteros, o
2. una clase de residuo debe tener 3 de estos 5 enteros que le pertenecen.

En el primer caso, dejemos $x_0 \equiv 0 \mod 3$ , $x_1 \equiv 1 \mod 3$ y $x_2 \equiv 2 \mod3$ . Entonces, sumando $x_1, x_2, x_3$ obtenemos, $x_1 + x_2 + x_3 \equiv 0 \mod 3$ .

En este último caso, tenemos 3 enteros entre los 5, digamos $x_1, x_2, x_3$ tal que, $x_1 \equiv x_2 \equiv x_3 \equiv k \mod 3$ sumando de nuevo estas tres obtenemos $x_1 + x_2 + x_3 \equiv 3k \equiv 0 \mod 3$ .

Esto demuestra que entre 5 enteros cualesquiera, la suma de unos 3 de ellos es divisible por 3.

Ahora tenemos 11 enteros. Por el resultado anterior, podemos elegir 3 de ellos de forma que su suma sea divisible por 3. Denotemos esta suma por $s_1$ . Ahora, nos quedamos con 8 enteros, de nuevo, escoge 3 de ellos tales que su suma sea divisible por 3. Denota esto por $s_2$ . Ahora, nos quedamos con 5 enteros. Elija $s_3$ de manera similar.

Así tenemos 3 sumas: $s_1, s_2, s_3$ (cada uno de los cuales son sumas de 3 enteros). Estas sumas son divisibles por 3. Por lo tanto, cada una de estas sumas es congruente con 0 o 3 módulo 6.

Ahora, como hay 3 sumas, y dos clases de residuos ( $[0], [3]$ ), por el principio de Pigeonhole, una clase de residuo debe tener dos sumas que le pertenecen. Sea $s_i$ y $s_j$ sean esas sumas. O bien, $s_i \equiv s_j \equiv 0 \mod 6$ o $s_i \equiv s_j \equiv 3 \mod 6$ . En ambos casos, $s_i + s_j \equiv 0 \mod 6$ .

Desde entonces, $s_i$ y $s_j$ son ambos suma de 3 enteros, $s_i + s_j$ es una suma de 6 enteros (que es divisible por 6). Esto completa la prueba.