Algunos resultados interesantes sobre la cofinalidad de un cardenal están relacionados con la función exponencial de los cardenales. Por ejemplo, podemos probar que $ \kappa ^{cf( \kappa )}> \kappa $ o podemos probar que $cf(2^ \kappa )> \kappa $ . En realidad, este último (junto con el de Cantor) $ \kappa <2^ \kappa $ ) resulta ser la única restricción a los valores de $2^ \kappa $ cuando $ \kappa $ es un cardenal normal. Por ejemplo, sabemos que $2^{ \aleph_0 }$ no puede ser ningún cardenal con la cofinalidad $ \aleph_0 $ así que no puede ser $ \aleph_\omega $ , $ \aleph_ { \aleph_\omega }$ etc. Además, es fácil ver que la cofinalidad de cada ordinal es un cardenal normal.
Se puede probar en ZF que un cardenal $ \kappa $ es singular exactamente cuando existe un cardenal $ \lambda < \kappa $ y una familia de conjuntos $\{S_ \xi : \xi < \lambda\ }$ de tal manera que $|S_ \xi |< \kappa $ y $ \bigcup_ { \xi < \lambda }S_ \xi = \kappa $ . Esto dice que un cardenal singular $ \kappa $ es una unión de menos de $ \kappa $ subconjuntos de $ \kappa $ cada uno con menos de $ \kappa $ elementos. El tamaño de cada cardenal infinito depende únicamente de los cardenales regulares: Cada cardenal infinito puede ser escrito como una suma regular de cardenales regulares.
Intuitivamente se puede decir que cuando pasamos a un cardenal normal realizamos un salto mayor en tamaño. Por ejemplo $ \aleph_0 $ es un cardenal normal. No puede escribirse como una unión finita de conjuntos finitos. En cierto sentido, pasar de lo finito a lo infinito marca una gran diferencia. Los cardenales regulares tienen propiedades diferentes a las de los cardenales singulares debido a esto.
Utilizando el axioma de la elección se puede demostrar que cada cardenal sucesor es regular, pero es demostrable que no podemos probar en ZFC ni la existencia de incontables cardenales límite regulares ni la consistencia de tal existencia (curiosamente no podemos probar en ZFC menos el infinito ni la existencia de conjuntos infinitos ni la consistencia de tal existencia).
Los cardenales de límite regular (que son incontables) se denominan débilmente inaccesibles. Reforzando esto un poco, asumamos que un cardenal regular incontable $ \kappa $ es un límite fuerte (que es para cada $ \lambda < \kappa $ tenemos $2^ \lambda < \kappa $ ). Estos cardenales se llaman cardenales (fuertemente) inaccesibles. Son importantes metamatéticamente porque en la cima de tal cardenal la jerarquía acumulativa es un modelo de ZFC. Es decir, estos cardenales son los límites naturales de los métodos que tenemos para crear nuevos conjuntos a través de los axiomas, y por lo tanto las suposiciones de la existencia de tales cardenales crean un universo "más grande" de la teoría de conjuntos. Podemos reforzar aún más estos resultados asumiendo que un cardenal tiene otras propiedades (combinatorias, por ejemplo) y producir formas de cardenales mucho más fuertes. Esto dio lugar a la teoría de los grandes cardenales que proporciona una medida de la fuerza de consistencia de las afirmaciones de la teoría de conjuntos.
