Curva de una varilla doblada por una fuerza en ambos lados

Question

Supongamos que tenemos una varilla flexible (es decir, que se puede doblar sin romperse) y ejercemos una fuerza en ambos lados, así:

Si la fuerza $F$ no es exactamente horizontal, la varilla se doblará y formará una curva (como por ejemplo la línea discontinua). ¿Existe una ecuación que describa la curva? ¿Cómo podría determinarla?

Supongamos que tenemos alguna fuerza inicial no paralela que causó la deflexión al principio, pero después la fuerza es horizontal. Despreciemos también la gravedad.

Answer 1

Lo que describes aquí es en realidad un fenómeno muy interesante conocido como Buckling. Ahora Buckling no ocurre en todos los casos, así que podría ver cómo esta frase

Supongamos que hemos tenido alguna fuerza inicial no paralela que ha provocado la deflexión al principio, pero después la fuerza es horizontal.

tendría sentido. Pero créeme, la realidad es mucho peor. Todo lo que necesitas son dos fuerzas coaxiales, como las de tu diagrama, y puedes tener la curva punteada dado que se cumplen unos criterios específicos.

La fuerza necesaria para provocar el pandeo, según tu diagrama, es decir, dos fuerzas sobre la misma barra es:

$ F=\frac{\pi^2\,\text{E}\,I_{min}}{l^2} $

Así que esto es, lo que se conoce como una fuerza crítica, que causaría el inicio del pandeo. Ahora, un procedimiento de resolución de una simple ecuación diferencial (la línea elástica eq), que se encuentra en la mayoría de los libros de texto sobre Mecánica de Materiales se puede encontrar esta ecuación:

$ y(z)=f\sin\left(\frac{\pi\,z}{l}\right) $

Puede notar el f término allí. Esa es la amplitud, o la máxima desviación que experimentará la viga. Sin embargo, debido a la naturaleza de la solución armónica de la ecuación diferencial, es imposible calcular los valores de este término, ya que una vez que comienza el pandeo, es improbable que podamos señalar la familia exacta (o la forma del pandeo). Por lo tanto, le sugiero que lea un poco más sobre este tema, ya que hay mucho material del que se puede aprender.

Answer 2

Si recuerdo correctamente de mi curso de Estática, las ecuaciones presentadas suponen un relativamente poco deformación que da lugar a una curva que se aproxima a un círculo. Esto no es completamente exacto, ya que la curva no es exactamente circular, especialmente cuando las fuerzas son mayores. Pero para el cálculo de tensiones, deformaciones, etc. proporciona ecuaciones útiles y fáciles de calcular. La página web real curvatura °probablemente° necesita ecuaciones diferenciales elípticas que son una pesadilla.