Construyendo $A(\neq I_n) \in M_{n}(\mathbb{Q})$ con $A^{n+1} = I_n$

Question

Quiero encontrar $A \in M_{n}(\mathbb{Q})$ no es igual a la matriz de identidad tal que $A^{n+1} = I_n$ .

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De mi puesto anterior, $A \in M_{n\times n}(\mathbb{Q})$ con $A\neq I_n$ , $A^p=I_n$ entonces $p\leq n+1$ .

Las siguientes son mis pruebas:

Obsérvese que la ecuación matricial da $t^{n+1} - 1$ pero como $t^{n+1} -1 = (t-1) (1+t+t^2+ \cdots + t^{n-1})$ . Obsérvese que el polinomio mínimo lo divide y como $m_A(t) \neq t-1$ , se divide $(1+t+\cdots + t^{n-1})$ . Pero esto puede ser reducible ...

Answer 1

Tenemos $p(t)=t^{n+1}-1=(t-1) (1+t+t^2+\dots+t^n)$ .

Consideremos la matriz de acompañamiento de $\chi(t)=1+t+t^2+\ldots+t^n$ . Es $$A_n=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \end{bmatrix}.$$ Significa que su polinomio característico es $\chi$ . Por el teorema de Cayley-Hamilton, obtenemos $p(A_n) =(A_n-I_n) \cdot \chi(A_n)=(A_n-I_n)\cdot O_n=O_n$ Por ejemplo $$\begin{bmatrix}0&-1\\1&-1\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B0%2C+-1%7D%2C+%7B1%2C+-1%7D%7D%5E3