Un contraejemplo para una versión smoth del teorema de extensión de Tietze

Question

¿Hay alguna función $f:F\subset \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ con $F$ cerrado tal que $f|F$ es diferenciable en cada punto de acumulación pero no existe una extensión diferenciable a todo el plano?

Creo que esa función existe pero no encuentro ninguna.

Answer 1

Versión suave del teorema de extensión de Tietze: Sea F cualquier subconjunto cerrado de R^n y f : F R es un mapa suave. Entonces existe un mapa suave g : R^n R tal que que g| F = f. Esto se puede demostrar muy fácilmente, utilizando la versión suave de la partición de unidad para subespacios de espacios euclidianos. Del mismo modo, la versión suave del lema de Urysohn también es cierta. Sin embargo, la versión estricta del teorema de la extensión de Tietze en la que la función original f así como su extensión g en la conclusión toman valores dentro de [0, 1], es FALSA. Consideremos el mapa de identidad f : [0, 1] [0, 1] que es obviamente suave. Supongamos que g : R [0, 1] es un mapa C 1 tal que g(x) = x para 0 x 1. Entonces g'(0) = 1 como se calcula tomando la derivada de la derecha. Por lo tanto, para algún r positivo, g'(x) es positivo para todo r < x < r. Esto significa que g es estrictamente creciente en (-r, r). Como g(0) = 0, g(x) < 0 para r < x < 0 lo cual es absurdo, porque g(R) [0, 1].

Answer 2

Tengo resultados parciales, pero positivos.

Hay un libro fundamental "Cálculo diferencial e integral" de Grigorii Fichtenholz. Este es un libro famoso para nuestros estudiantes y tiene muchas traducciones (pero excepto el inglés) .

He encontrado en el Apéndice del vol. I el siguiente Teorema (I-II), con una larga y compleja demostración.

Una curva simple sin puntos especiales representada por una ecuación $x=\varphi(t)$ , $y=\psi(t)$ , donde $t$ pertenece a un intervalo, se llama una curva suave de la clase $C^n$ ( $n\ge 1$ ), si las funciones $\varphi$ y $\psi$ pertenece en el intervalo a la clase $C^n$ .

Teorema . Si una función $f(x,y)$ pertenece a la clase $C^n$ ( $n\ge 1$ ) en un dominio cerrado y acotado, con una frontera formada por una o varias curvas simples (que no se interceptan) suaves a trozos (de la clase $C^n$ también) entonces la función $f$ puede extenderse a todo el plano $\Bbb R^2$ con la preservación de la clase.

Otra construcción de extensión es la sugerida por $\S$ 3 del cap. 15, vol. III, en el que, en particular, se resuelve un problema cuando una expresión $P dx + Q dy$ es una diferencial exacta de una función $f$ (es, bajo algunos supuestos (en particular, la existencia y continuidad de las derivadas $\frac{\partial P}{\partial y}$ y $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ), la igualdad $\frac {\partial P}{\partial y}=\frac {\partial Q}{\partial x}$ ). Entonces, supongamos que una derivada $g=\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ es continua. Entonces, por el teorema de extensión de Tietze se puede extender a todo el plano, a una función continua $\hat g$ . Ahora espero que por algunas integrales simples de la función $\hat g$ podemos "recuperar" una extensión de la función $f$ .