Notación para el recuento de la medida en el caso de dos sumas infinitas, una de las cuales se convierte en una integral sobre $\mathbb{N}$ ?

Question

Utilizando las propiedades de la integración de Lebesgue y la medida de recuento $\mu:\mathbb{N}\to [0,\infty]$ se puede demostrar que $$ \sum_{i=1}^\infty\bigg(\sum_{j=1}^\infty g_{ij}\bigg) = \sum_{j=1}^\infty\bigg(\sum_{i=1}^\infty g_{ij}\bigg), $$ para cada mapa $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to [0,\infty]:(i,j) \to g_{ij}$ ,

Dejemos que $g_{ij}:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to [0,\infty]:(i,j) \to g_{ij}$ sea un mapa. Entonces tenemos, \begin{align*} \sum_{i=1}^\infty\bigg(\sum_{j=1}^\infty a_{ij}\bigg) & = \int_\mathbb{N} \sum_{j=1}^\infty a_{ij} d\mu \\ & = \sum_{j=1}^\infty \int_\mathbb{N} a_{ij} d\mu \\ & = \sum_{j=1}^\infty\bigg(\sum_{i=1}^\infty a_{ij}\bigg). \end{align*} ¿Es correcta mi notación para utilizar la medida de conteo en los números naturales? En particular, ¿cómo sabemos que la integral sobre $\mathbb{N}$ significa que los elementos de $\mathbb{N}$ debe introducirse en el $i$ componente del mapa $a_{ij}$ ?

Answer 1

Está implícito. Por ejemplo, cuando se integra $f$ con respecto a alguna medida $\mu$ como $\int f d\mu$ se supone que se está introduciendo la medida en el integrando.

Así que se puede escribir esto como $$\int_{\mathbb N} \sum_{j=1}^\infty a_j d\mu$$

o $$\int_{\mathbb N} \sum_{j=1}^\infty a_{ij} d\mu(i).$$

Answer 2

Se podría escribir la medida de recuento como $\ \#: \>{\cal P}({\mathbb N})\to[0,\infty]$ y luego escribir la integral como $$s_i=\int_{\mathbb N} a_{ij}\>d\#(j)\ .$$