Solicito comentarios constructivos sobre mi prueba de un problema de Apostol Vol.1.

Question

Si x es un número real arbitrario, demuestre que hay exactamente un número entero n que satisface las desigualdades $n \le x < n+1$ .

Sea S el conjunto de todos los $t \in \mathbb{Z}$ tal que $t \le x$ para un $x \in \mathbb{R}$ . Por definición, $x$ es un límite superior para S, por lo que S tiene un supremacía $n$ satisfaciendo $t \le n \le x$ (con $n \in \mathbb{Z}$ ). Ahora, supongamos que $n+1 \le x$ . En este caso, tenemos un número entero $n+1$ tal que $n < n+1 \le x$ , contradiciendo el hecho de que $n$ es un límite superior para S. Por lo tanto, tenemos $n \le x < n+1$ . Como todo conjunto tiene un solo supremum, n es el único número entero que satisface $n \le x < n+1$ .

Además, ¿alguien puede mostrarme una prueba de que el supremo n debe ser un número entero? (Me he saltado ese paso porque me parecía obvio, pero quiero saber cómo demostrarlo)

Answer 1

La prueba no es buena a menos que se demuestre que el supremum de $S$ es efectivamente un número entero, que es en realidad el grueso del argumento.

Sin embargo, el supremum de un conjunto de enteros acotado superiormente $S$ es un número entero, en realidad un máximo. En efecto, si $\sup S=n$ y $n\notin S$ , hay $m_1\in S$ tal que $n-m_1<1$ . Desde $n-m_1>0$ también existe $m_2\in S$ tal que $n-m_2<n-m_1$ . Así que $m_2>m_1$ Por lo tanto $m_2\ge m_1+1$ Por lo tanto $$ -m_2\le -m_1-1 $$ lo que implica $$ n-m_2\le n-m_1-1<0 $$ y esto es una contradicción, porque por la suposición $m_2\le n$ .

Ahora que hemos resuelto este hecho, podemos enderezar su prueba.

Dejemos que $S=\{t\in\mathbb{Z}:t\le x\}$ . Entonces $S$ está acotado por encima, por lo que tiene un máximo $n$ . Entonces $n+1>n$ implica $n+1\notin S$ para que $n+1>x$ .

Answer 2

Podrías mostrar $n \in \mathbb{Z}$ observando que para cada $\epsilon > 0$ existe $k_{\epsilon} \in S$ tal que $n - \epsilon < k_{\epsilon} \leq n$ . Ya que podemos tomar $\epsilon = \frac{1}{2}$ Debemos tener $k_{1/2} = \text{max} (S)$ .