Soy físico, no matemático, así que mi respuesta puede carecer de algo del rigor que usted espera. Sin embargo, dado que nadie más ha intentado resolver este problema en el último año, voy a arrojar la poca luz que pueda.
La referencia que busca puede ser el documento de invariantes diferenciales de Sophus Lie de 1884. Me lo presentó en Oak Ridge en 1992 el Dr. Lawrence Dresner, un matemático aplicado de la División de Magnetismo del laboratorio Y-12. El trabajo de Lie se estaba utilizando para resolver las EDP no lineales relacionadas con los problemas de estabilidad de los superconductores en el reactor de fusión Tokamak.
Sophus Lie fue un matemático noruego del siglo XVIII, pero su estilo estaba anclado en el siglo XVII, por lo que su obra puede ser algo densa. Recomiendo la traducción de M Ackerman con los comentarios y el material adicional de Robert Hermann. Fue publicada en inglés en 1976 por MATH SCI PRESS, ISBN 0-915692-13-9. El artículo original es "On Differential Invariants", S. Lie, Math. Annallen, Vol. 24 (1884), 537-578. Sólo soy un estudiante, y no estoy realmente cualificado para hablar con autoridad sobre esta cuestión, pero según tengo entendido la premisa básica de Lie es precisamente tu afirmación.
Sophus Lie intentaba hacer para las ecuaciones diferenciales lo que Evariste Galois hizo para los polinomios. Un Grupo de Lie es un grupo que preserva la estructura de la variedad lisa. Los estabilizadores del Grupo de Lie, o "invariantes diferenciales" como él los llamaba, forman una submanifold incrustada e invariante. Por ello, los DEQ pueden reescribirse en términos de estabilizadores de grupo. Dado que una función de estabilizadores es en sí misma un estabilizador, esto pone el DEQ en el núcleo del mapa con el álgebra de Lie del grupo que se utiliza para encontrar una solución. Como dice Hermann en el prefacio: "La idea clave es que hay que estudiar la estructura del espacio orbital de un grupo de simetría sobre el espacio de soluciones".
De nuevo, perdona la falta de rigor, pero quizás te venga bien un ejemplo práctico. Si se dispara un proyectil en un fluido, la fuerza de fricción es proporcional al cuadrado de la velocidad, por lo que derivar una ecuación para saber hasta dónde penetra un proyectil en un fluido en función del tiempo puede ser un reto.
$$ F=-\alpha v^2 \rightarrow m\ddot{y}=-\alpha \dot{y}^2$$ Aquí y es la distancia de penetración, m es la masa y $\alpha$ es el coeficiente de arrastre, una constante sin unidades que depende de la forma del proyectil y de la densidad y viscosidad del fluido. ( $\dot{y}=\frac{dy}{dt}$ y $\ddot{y}=\frac{d^2y}{dt^2}$ ) Además, y(0)=0 y $\dot{y}(0)=v_o$ la velocidad inicial del proyectil.
Este DEQ es invariante respecto al grupo de Lie G(t,y)= $(\lambda t, \lambda^\beta y)\lambda_o=1$ Tenga en cuenta que si $t'=\lambda t$ y $y'=\lambda^\beta y$ , $\dot{y}'=\frac{dy'}{dt'}=\frac{\lambda^\beta dy}{\lambda dt}=\lambda^{\beta -1}\dot{y}$ y $\ddot{y}'=\lambda^{\beta -2}\ddot{y}$ . Aplicando estos a la DEQ, $$m\lambda^{\beta -2}\ddot{y}=-\alpha \lambda^{2\beta -2}\dot{y}^2$$ Para la invariabilidad, $\beta =0$ . Ahora encuentre las transformaciones infinitesimales de las variables primadas y utilice el método de las características para encontrar los estabilizadores (invariantes diferenciales).
$$\bigg(\frac{dt'}{d\lambda}\bigg)_{\lambda _o=1}=t$$ $$\bigg(\frac{dy'}{d\lambda}\bigg)_{\lambda _o=1}=\beta y$$ $$\bigg(\frac{d\dot{y}'}{d\lambda}\bigg)_{\lambda _o=1}=(\beta -1)\dot{y}$$ $$\bigg(\frac{d\ddot{y}'}{d\lambda}\bigg)_{\lambda _o=1}=(\beta -2)\ddot{y}$$ $$d\lambda=\frac{dt}{t}=\frac{dy}{\beta y}=\frac{d\dot{y}}{(\beta -1)\dot{y}}=\frac{d\ddot{y}}{(\beta -2)\ddot{y}}$$ $$\frac{dt}{t}=\frac{dy}{\beta y}\rightarrow \beta ln t=ln y + \mu \rightarrow \mu=\frac{y}{t^\beta}\bigg|_{\beta =0}=y$$ $$\frac{dt}{t}=\frac{d\dot{y}}{(\beta -1)\dot{y}} \rightarrow \nu=\frac{\dot{y}}{t^{\beta -1}}\bigg|_{\beta =0}=t\dot{y}$$ $$\frac{dt}{t}=\frac{d\ddot{y}}{(\beta -2)\ddot{y}} \rightarrow \eta=\frac{\ddot{y}}{t^{\beta -2}}\bigg|_{\beta =0}=t^2\ddot{y}$$ Estas constantes de integración, $\mu$ , $\nu$ y $\eta$ son estabilizadores de grupo para el grupo de ecuaciones diferenciales, un subconjunto del grupo de polinomios. Hay un número infinito de ellos, pero sólo necesitamos los tres primeros para nuestro DEQ. Estos invariantes diferenciales forman un submanifold incrustado en el espacio solución, lo que significa que el DEQ puede reescribirse en términos de los invariantes. Multiplicando el DEQ por $t^2$ tenemos $$mt^2\ddot{y}=-\alpha(t\dot{y})^2 \rightarrow m\eta=-\alpha \nu^2$$ Desde $$t\frac{d\nu}{dt}=\eta-(\beta-1)\nu$$ podemos utilizar esta expresión del álgebra de Lie para resolver nuestro DEQ. $$t\frac{d\nu}{dt}=\nu -\frac{\alpha}{m}\nu^2 \rightarrow \frac{d\nu}{\nu-\frac{\alpha}{m}\nu^2}=\frac{dt}{t}$$ Esta separación de variables es un resultado directo de la invariancia de grupo. Con un poco de descomposición fraccionaria, algo de integración, sustitución de $\nu=t\dot{y}$ Con una mayor integración y aplicación de las condiciones iniciales, se obtiene $$y=\frac{m}{\alpha}ln\bigg(1+\frac{\alpha}{m}v_o t\bigg) $$ Esta solución es fácilmente verificable y proporciona resultados precisos.
Una vez más, puede que las matemáticas aplicadas no sean exactamente lo que buscas, pero espero que te haga reflexionar. En la página 102 del libro mencionado se encuentra el Teorema 4.4.1 de Lie. "Todo grupo continuo infinito determina una secuencia infinita de invariantes diferenciales, que pueden definirse como las soluciones de sistemas completos". En los siguientes comentarios de Hermann, afirma "Por lo que puedo decir, Lie (en el espíritu del siglo XVIII) supone que todo es convenientemente "general", y que estos hechos son evidentes por sí mismos. Que yo sepa, ¡no se han demostrado hasta hoy!". Lo que era cierto para Hermann en 1976 puede seguir siendo válido. Es evidente que el método funciona, por lo que la prueba debería existir, pero dado que nadie ha respondido a su post en un año, es posible que esa valiosa prueba siga por ahí esperando a ser descubierta.
