Dando que $|H|$ es cíclico. Si $|H|=n$ entonces para cada $a>0$ tal que $a|n$ existe un único subgrupo de $H$ de orden $a$ . Este subgrupo es el subgrupo cíclico $\langle x^d\rangle$ donde $d= \frac{n}{a}$ . Sé que en esta prueba tengo que demostrar dos cosas Existencia y Unicidad. Ahora para demostrar la existencia del subgrupo tengo que demostrar esta proposición $|x|=n$ y $a$ es un número entero positivo que divide a $n$ entonces $|x^a|=\frac{n}{a}$ . Tengo dos preguntas, la primera es cómo puedo demostrar esta proposición y la segunda cómo me ayuda a demostrar la existencia de un subgrupo.
Respuesta
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Matt Samuel
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Por definición, el orden de un elemento es el menor número entero positivo tal que elevar el elemento a esa potencia es la identidad. En $x^a$ es cierto que $(x^a)^{n/a}=1$ por la multiplicación de los exponentes, por lo que sólo necesitamos saber que es la potencia más pequeña. Pero si hubiera una más pequeña, por ejemplo $m$ entonces $x^{ma}=1$ pero $ma<n$ , contradiciendo el hecho de que el orden de $x$ es $n$ .
El subgrupo generado por $x^a$ que consiste en todas las potencias de este elemento, tiene $n/a$ elementos, y ahora sabemos que este subgrupo existe.
