La forma más sencilla es encontrar bases para cada subespacio, juntándolas y eliminando los vectores que hacen la unión linealmente dependiente.
Primer ejemplo.
Una base para $A$ es $\{(0,0,1)\}$ Una base para $B$ es $\{(-1,1,1)\}$ la matriz $$ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ se ve fácilmente que tiene rango $2$ Así que una base para $A+B$ es $\{(0,0,1),(-1,1,1)\}$ .
Segundo ejemplo.
Una base para $A$ es $\{(1,0,-1),(0,1,0)\}$ Una base para $B$ es $\{0,1,0),(0,0,1)\}$ . Hacer la eliminación gaussiana $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ que muestra que la tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras (por supuesto, esto es obvio, porque la segunda y la tercera columna son iguales), pero también que la primera, la segunda y la cuarta columna forman un conjunto linealmente independiente. Por lo tanto, una base para $A+B$ es $\{(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,1)\}$ .
La fórmula de Grassmann $$ \dim(A+B)=\dim A+\dim B-\dim(A\cap B) $$ le dirá si $A\cap B=\{0\}$ o no.
Sin la eliminación gaussiana, todavía se puede resolver el problema. El primer caso es realmente fácil: basta con demostrar que los dos vectores dados forman un conjunto linealmente independiente.
En el segundo caso, hay que tener en cuenta que $(0,1,0)$ aparece en las dos bases, por lo que podemos eliminarlo; luego demostrar que $\{(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,1)\}$ es linealmente independiente por cálculo directo.
