Equivalencia de normas y normas de un producto interior

Question

Si tenemos $X$ un IPS real o complejo con producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle_1$ y la norma asociada $\left\| \cdot \right\|_1$ . Si tenemos una norma $\left\| \cdot\right\|_2$ en $X$ que es equivalente a la norma $\left\| \cdot \right\|_1$ , debe $\left\| \cdot\right\|_2$ ¿también provienen de un producto interno?
He probado a trastear con la ley del paralelogramo para el $2^{\text{nd}}$ norma pero no pude llegar a ninguna parte. Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta es No. En $R^n$ Tomar el producto interno habitual (punto) que genera la norma euclidiana, es decir, $l_2$ . Ahora toma cualquier otro $l_p$ -normas, $p \neq 2$ . sabemos que sólo $l_p$ -La norma viene del producto interno es $l_2$ .

Answer 2

En un espacio de dimensión finita, dos normas cualesquiera son equivalentes. Sin embargo, la norma p satisface la ley del paralelogramo sólo para $p=2$ .