Hace $f^{-1}(B)\subset A \iff B\subset f(A)$ ?

Question

$f$ es una función. ¿Tiene $f^{-1}(B)\subset A \iff B\subset f(A)$ ? En caso afirmativo, ¿es esto cierto para un mapeo? Si no, ¿es cierto en una dirección? (Esto viene de demostrar que una función es medible si es medible en el generador del álgebra rango-sigma)

Answer 1

No, para $f : X\rightarrow Y$ ni siquiera tienes $$ f^{-1}(B)\subset A \Longrightarrow B\subset f(A) $$ porque en el lado izquierdo $B\subset Y$ y puede ser $Y$ sí mismo.

Un contraejemplo es el siguiente $$ X=Y=A=B=\{0,1\},\ f(0)=f(1)=0\ . $$ Para un contraejemplo en la otra dirección (implicación inversa $\Longleftarrow$ ), toma $B=\{0\}$ y $A=\{1\}$ .

Answer 2

Gracias a Mariano por detectar mis errores garrafales.

Tome $f(x) = \sin x$ y $A=[0,2\pi)$ , $B =[-1,1]$ entonces $B \subset f(A)$ pero $f^{-1}(B) = \mathbb{R}$ .

Para la otra dirección, tome $B = \{2\}$ entonces $f^{-1}(B) = \emptyset \subset A$ pero $B \not\subset f(A) = [-1,1]$ .