¿Qué es la transformada de Fourier de exp(-abs(x))?

Question

Conozco el resultado del caso 1-dim.

Sin embargo, no puedo encontrar lo que es para el caso multidimensional, es decir, las siguientes integrales.

$\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^n} e^{-a|x|} e^{-i \xi x} $

Intenté utilizar la coordenada esférica n-dimensional, por lo que llegué a lo siguiente $\frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_0^\infty dx \int_0^\pi d\theta d\Omega_{n-2} [x^{n-1} \sin^{n-2}(\theta) e^{-ax-i|\xi|x\cos(\theta)}]$

donde $d\Omega_{n-2}$ es el ángulo sólido para $S^{n-2}$

Pero, no puedo ir más allá. No encuentro cómo hacer la integración. ¿Cómo puedo hacer la integración?

Answer 1

Como se ha demostrado en la respuesta a esta pregunta la respuesta está en sus convenios $$ \boxed{\mathcal F(e^{-a\,|x|}) = \frac{2\,a \,(2\,\pi)^{n/2}}{\omega_{n+1}\,(a^2 + |x|^2)^{(n+1)/2}}} $$ donde $\omega_{d} = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ .