Ejemplo de subgrupo de $\mathbb Q$ que no está generada finitamente

Question

Estaba buscando un subgrupo propio de $\mathbb Q$ que no se genera finitamente bajo la operación de adición.

Sabemos que todo subgrupo finitamente generado de $\mathbb Q$ es cíclico. Para un subgrupo propio sólo estoy pensando en el subgrupo $H$ generado por $\{\frac{1}{p} : p \text{ prime }\}$ puede funcionar. Parece que $1/4$ no está en $H.$ ¿Es este un ejemplo correcto? Gracias

Answer 1

Prueba con $\mathbb Z[\frac12]$ , es decir, el conjunto de fracciones binarias.

De manera más general, $\mathbb Z[\frac1p]$ es decir, el conjunto de fracciones cuyos denominadores son potencias del primo $p$ .