Dejemos que $S_n=\dfrac{B_n - np}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}$ sea una variable aleatoria que tiene la distribución binomial estandarizada. Por la desigualdad de Chebyshev sé que $$P(|S_n| \ge x) \le \frac{1}{x^2}$$ ¿Existe también una buena aproximación de la forma $P(|S_n| \ge x) \ge \ldots\,{}$ ?
Respuestas
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Comience expresando la distribución binomial como $$ P(B_n = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$ para que $$ P(|S_n| \leq x) = \sum_{i=np-x\sqrt{np(1-p)}}^{np-x\sqrt{np(1-p)}}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$ y expresar $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ A continuación, utilice la aproximación de Stirling con los 2 primeros términos no triviales: $$ \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}} < m! < \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n}} $$ Esto da lugar a límites muy ajustados en $P(|S_n| \leq x)$ .
Dilip Sarwate
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Para grandes valores de $n$ , $S_n$ tiene una FCD bien aproximada por la FCD de una variable aleatoria normal. Por lo tanto, uno aproximación a un baja es limitado $$P\{|S_n| \geq x\} \geq \sqrt{\frac{2}{\pi}}\left (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\right )\exp(-x^2/2)~~ \text{for}~~ x > 0.$$ El límite superior correspondiente es $$P\{|S_n| \geq x\} \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\exp(-x^2/2)}{x} ~~ \text{for}~~ x > 0.$$ Véase, por ejemplo, esta respuesta para detalles sobre cómo llegar a estos límites.
