Coeficiente multinomial de $x^{1397}$ en la expansión de $(x^3+x^4+x^5+...)^6$

Question

Tengo el siguiente problema:

Encuentre el coeficiente de $x^{1397}$ en la expansión de $(x^3+x^4+x^5+...)^6$

Sé cómo resolver este tipo de preguntas utilizando el Teorema del Multinomio, pero como el polinomio en este caso es infinito, ¡estoy perdido!

Gracias de antemano.

Answer 1

Está encontrando el coeficiente de $x^{1397 - 3 \times 6} = x^{1379}$ de $(1 + x + x^2 + \cdots)^{6}$ . Ya que no tiene que preocuparse por el término después de $x^{1379}$ en $1+ x+ x^2+ \cdots$ se está determinando el coeficiente de $x^{1379}$ de $(1+ x + x^2 + \cdots + x^{1379})^6$ .

Si no estás limitado a usar el teorema multinomial, mi sugerencia es encontrar la serie de taylor de $(1+x+\cdots)^6 = \frac{1}{(1-x)^6}$ y encontrar el $1379$ coeficiente.

Answer 2

Este es el número de soluciones de la ecuación $Z_1 + \dots + Z_6 = 1397$ donde $Z_1$ , $\dots$ , $Z_6$ son enteros positivos $\geq 3$ .

Restando tres de cada uno de los $Z_i$ cada solución corresponde a una solución de $$X_1 + \dots + X_6 = 1397 - (6 \cdot 3) = 1379$$ donde cada $X_i$ es un número entero no negativo.

En general, el número de soluciones a $X_1 + \dots + X_k = n$ para los enteros $X_i \geq 0$ es $\binom{n + k - 1}{k-1}$ . Así que en su caso particular, $k = 6$ y $n = 1379$ la respuesta es $\binom{1384}{5} = 42010498234776$ .