Geometría: Encontrar una superficie que sea ortogonal a una familia de superficies dada

Question

Problema Consideremos una familia de superficies de un parámetro ${S_c}$ en $\mathbb{R^3}$ (con $c$ siendo una constante real) descrita por

$$S_c = \{(x, y, z)|f(x, y, z) = c\}, c \mathbb{R}$$

(a) Supongamos que buscamos la superficie $T$ descrito como la gráfica de una función de $x$ y $y$ (es decir, $z = \phi(x, y)$ ). Demostrar que la gráfica $$\{(x, y, \phi(x, y)) | x, y \mathbb{R}\}$$ es ortogonal a cada $S_c$ si y sólo si la función satisface la EDP

$$f_x(x, y, \phi(x, y))\phi_x + f_y(x, y, \phi(x, y))\phi_y = f_z(x, y, \phi(x, y))$$ (b) Utiliza el método de las características para encontrar la superficie que interseca a cada una de las superficies $$z(x + y) = c(3z + 1)$$ ortogonalmente, y que contiene el círculo $x^2 + y^2 = 1, z = 1$ . Aquí, $c \mathbb{R}$ como en el caso anterior.

Mi intento sabemos que dos planos son ortogonales entre sí si el producto punto de sus vectores normales es cero. Creo que esta es la forma en que la parte (a) debe ser abordado, también porque la EDP contiene los términos $f_x$ , $f_y$ y $f_z$ tal que $<f_x,f_y, f_z>$ es uno de los vectores normales y $<\phi_x,\phi_y, 1>$ es el otro, pero no estoy seguro de cómo proceder. Se agradece mucho la ayuda. ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Puedo ayudar sólo con la pregunta $(a)$ ya que no conozco el método de las "características".

En primer lugar, observe que, en general, el vector normal en un punto $P$ de una superficie definida por la ecuación $g(x,y,z)=0$ viene dado por el gradiente de $g$ evaluado en $P$ : $$ \nabla g(P) = [\;\partial_x g(P),\,\partial_y g(P),\, \partial_z g(P) \;] $$ (Hágame saber si el motivo de esta afirmación no le resulta claro, y lo explicaré con más detalle). En nuestro caso las superficies tienen ecuaciones:

$$ f(x,y,z)-c=0 \quad\text{ and }\quad \phi(x,y)-z=0 $$

que conducen a los gradientes

$$ V = [\; \partial_x\, f,\,\partial_y\, f ,\,\partial_z\, f \;] \quad\text{ and }\quad W = [\; \partial_x \phi,\,\partial_y \phi ,\, -1 \;] $$

De ahí que el $(a)$ se deduce, ya que $V(P)\cdot W(P) = 0 \iff$ su PDE se mantiene, para cada punto $P$ de $T$ .