Argumentos contra los grandes cardenales

Question

Hace tiempo empecé a aprender sobre los cardinales grandes, y leí que la existencia, e incluso la consistencia de la existencia de un cardinal inaccesible, es decir, un cardinal límite que además es regular, es indemostrable en ZFC. Sin embargo, los cardinales grandes se estudiaron ampliamente en el siglo pasado y (aparte de los intentos que fueron demasiado lejos como los cardinales de Reinhardt) nadie encontró nunca una contradicción con ZFC. En consecuencia, me parece que los teóricos de conjuntos de hoy no consideran la posibilidad de la inexistencia de un gran cardinal. Por eso mis preguntas:

¿Por qué es tan descabellado pensar que la existencia de grandes cardenales contradice la ZFC? ¿Hay matemáticos que sí creen que los cardinales grandes no existen? ¿Y cuáles son sus argumentos?

EDIT: Quiero daros las gracias por todas vuestras interesantes respuestas y comentarios. Aunque me llevará algún tiempo entenderlos completamente, siento que ya he aprendido mucho gracias a esta discusión. ¡Gracias!

Answer 1

Los grandes cardenales ofrecen una imagen detallada y coherente, con un único principio, el de la simetría, que alcanza incluso (esencialmente) a los grandes cardenales más fuertes. Ofrecen continuamente nuevos resultados, sin incoherencias. Para los grandes cardinales más débiles (hasta los cardinales de Woodin) tenemos modelos canónicos de estructura fina bien entendidos, con una variedad de principios combinatorios intuitivamente verdaderos (o bien analizados) aparentemente no relacionados sobre los números reales y otros conjuntos que implican su consistencia. Y aunque todavía no hemos llegado a ese punto, esperamos muchos más resultados de este tipo en el nivel de los cardinales supercompactos.

Sin embargo, de acuerdo con el título de la pregunta, el resto de la respuesta consistirá en argumentos en contra de los grandes cardenales, que son importantes tanto por las verdaderas dudas (especialmente sobre ciertas cosas) como por la visión que ofrecen los argumentos. Muchos de los argumentos también se aplican a la ZFC, pero se hacen más fuertes a medida que aumenta la fuerza de los grandes cardinales.

Los argumentos se separan en:
- Argumentos para la inconsistencia de los grandes cardenales.
- Argumentos para la no existencia de grandes cardenales (aunque sean consistentes).
- Argumentos para no aceptar los cardenales grandes como axiomas.

Además, con respecto a la verdad/consistencia, podemos separar aproximadamente las meras dudas de los argumentos afirmativos de falsedad/inconsistencia, siendo la mayoría de los argumentos los primeros.

Argumentos contra la aceptación como axiomas:
- Dudas sobre los grandes axiomas cardinales (ver los otros párrafos).
- La importancia de que los fundamentos de las matemáticas estén libres de dudas innecesarias.
- El desafortunado desinterés general por las fundaciones. La mayoría de los matemáticos ni siquiera saben exactamente qué es la ZFC. (Esto es relevante aquí porque la "aceptación" tiene un componente sociológico).
- En relación con lo anterior, la escasa necesidad de ir más allá de ZFC para los resultados que interesan a la mayoría de los matemáticos.
- Saber que algo es demostrable en una teoría débil (o simplemente ZFC) a menudo nos da información importante que va más allá de saber que es verdadera.
- Todavía se pueden utilizar grandes axiomas cardinales incluyéndolos como suposiciones.

Dudas sobre la coherencia:
- Duda sobre la existencia metafísica de conjuntos infinitos, o si existen, sobre el razonamiento intuitivo sobre tales conjuntos. Muchos creen que el universo físico observable es finito y/o que el funcionamiento de las leyes físicas es computable, y que los humanos no tienen un acceso privilegiado a la verdad. Además, algunos hechos que son obviamente verdaderos sobre conjuntos finitos fallan para el infinito.
- Falta de teoría del modelo interno y del modelo central más allá de los cardenales de Woodin. Mientras que (como dijo el teórico de conjuntos John Steel) "todos los caminos conducen a la determinación proyectiva", aún no sabemos si todos los caminos conducen a los análogos de los cardinales supercompactos.
  - La inducción del modelo central aún no ha alcanzado el límite de Woodin de los cardenales de Woodin (pero hay avances). Los modelos centrales (incluida la inducción de modelos centrales) son nuestro principal método para demostrar que las proposiciones combinatorias naturales plausibles en niveles bajos de $V$ implican la consistencia de los grandes cardenales.
  - La existencia de modelos internos canónicos para un conjunto estacionario de cardinales de Woodin sigue abierta en 2018.
  - Mientras que bajo conjeturas plausibles, las definiciones actuales de los modelos estructurales finos alcanzan a los cardinales subcompactos (y un poco más allá), los cardinales supercompactos muestran un comportamiento cualitativamente diferente y anti-modelo, como la consistencia de la indestructibilidad.
- Falta de "pruebas" heurísticas suficientes de la consistencia de ZFC:
  - Es difícil encontrar argumentos convincentes para la consistencia de la ZFC que no mencionen el infinito (aparte del argumento de que las consecuencias de la ZFC han sido bien entendidas sin que se haya encontrado ninguna inconsistencia; además, "difícil" no tiene por qué significar "imposible").
  - Falta de suficientes enunciados aritméticos naturales verdaderos que se sepa que implican la consistencia de ZFC.
  - La falta de sistemas de notación ordinal razonables que hayan sido probados para alcanzar ZFC (o incluso sólo $\mathrm{Z}_2$ ). Los sistemas de notación ordinal (y, en menor medida, los modelos internos canónicos) nos dan una imagen bien entendida de cómo funciona una teoría, lo que (entre otras muchas ventajas) contrarresta las dudas sobre la consistencia.

Argumentos históricos afirmativos de incoherencia:
- Históricamente, las paradojas (incluida la paradoja de Russell) se utilizaban para argumentar en contra del infinito (incluida la consistencia del infinito), pero estos argumentos han retrocedido, ya que la ZFC no ha dado muestras de ser inconsistente a través de dicha paradoja.
- La incoherencia de Kunen se utilizó para argumentar contra axiomas superficialmente similares: Dado que la existencia de elementales no triviales $j:V_{λ+2}→V_{λ+2}$ es incoherente, ¿por qué utilizar $V_{λ+1}$ ¿es diferente? Sin embargo, el entendimiento actual es que no hay inconsistencia sin el axioma de elección (pero ver más abajo), y a diferencia de $V_{λ+2}$ La elección no causa problemas para $V_{λ+1}$ y (partiendo de un axioma más fuerte para ZF) podemos obtener la elección en una extensión genérica.
- Más recientemente, Hugh Woodin ha argumentado (véase su trabajo sobre la dicotomía HOD) que los cardinales de Reinhardt para ZF son inconsistentes. En concreto, para cardinales como los medibles (o incluso los fuertes), existen modelos internos definibles canónicos ordinales que utilizan las restricciones de los extensores de las incrustaciones en $V$ (y obtener los mismos cardinales grandes a partir de estos extensores), pero fue capaz de mostrar que la consistencia de un fortalecimiento de ZF + Reinhardt cardinal (que es más débil que los cardinales de Berkeley), esto no tiene por qué mantenerse para los cardinales supercompactos. Personalmente creo que este fallo es la razón por la que los supercompactos han sido tan útiles para la consistencia de las proposiciones combinatorias - a diferencia de los cardinales más débiles, las incrustaciones (en cierto sentido) capturan una gran parte de $V$ y, por lo tanto, no puede incluirse de forma general en los modelos internos canónicos tal cual, pero todavía hay muchas cosas que no entendemos.

Entre la consistencia y la existencia, tenemos varios grados de solidez. Las propiedades inconsistentes con el axioma de elección pueden seguir siendo válidas en esos niveles. Así, por ejemplo, cerca de la cima de la jerarquía conocida (y por tanto, con las mayores dudas sobre la consistencia), tenemos la $Π^V_2$ declaración "Para cada cardenal $κ$ existe un modelo de 'ZF + Berkeley cardinal' cerrado bajo $κ$ secuencias". En general, se considera que la veracidad de tales afirmaciones está estrechamente relacionada con la coherencia. Sin embargo, esta creencia supone una solidez fundamental de la gran jerarquía cardinal, que tiene un fuerte apoyo analítico y empírico, pero que también se puede argumentar en contra (por ejemplo, véanse los argumentos de $V=L$ ).

Dudas sobre la existencia de grandes cardenales:
- Los formalistas y los partidarios de diversas filosofías afines creen que los conjuntos infinitos (o en su defecto, incontables) no existen realmente. Lo que puede existir son cuasimodelos finitos (o modelos contables) de varios axiomas de conjuntos, pero sostienen que no hay un único predicado de verdad preferido para $(V,∈)$ . La falta de consenso sobre la CH se cita a menudo para apoyar esto. Varios axiomas cardinales grandes pueden ser válidos en algunas pero no en otras teorías/cuasimodelos/modelos, y el uso de ZFC es una convención común útil. Para ellos, la existencia de grandes cardinales se transforma en la bondad de usar ZFC + A (para varios A) para el trabajo matemático.
- La consistencia de los grandes cardenales es fundamentalmente diferente de la existencia. Para aceptar plenamente los cardinales inaccesibles, un platonista de conjuntos necesitaría saber que existen metafísicamente, o para un platonista de la simetría (un tipo de platonista del valor de verdad), que tenemos suficiente simetría como para que los valores de verdad de los enunciados en el nivel de los cardinales inaccesibles no sean ambiguos.
- El esquema del axioma de sustitución (y la elección) puede seguirse intuitivamente de "Para cada ordinal $α$ un proceso que siempre puede ser continuado puede ser iterado $α$ veces", pero este razonamiento es insuficiente para llegar a los cardenales inaccesibles.
- Por la inconsistencia de Kunen, algunos axiomas cardinales grandes, por lo demás naturales, son inconsistentes con la elección. Quizás descubramos un principio combinatorio natural verdadero más fuerte que refute más axiomas cardinales grandes.
- Una teoría canónica para un determinado nivel de expresividad puede requerir una fuerza de consistencia que a primera vista corresponde a un nivel superior. Por ejemplo, una axiomatización verdadera y razonablemente completa de la aritmética de segundo orden requiere una determinación proyectiva, y la determinación proyectiva puede comprobarse simplemente estudiando los números reales (aviso: no todo el mundo está de acuerdo con esto), lo que a su vez da consistencia a los cardinales de Woodin. De este modo, la duda sobre la consistencia de los cardinales de Woodin puede traducirse en la duda sobre la existencia del conjunto o clase de todos los números reales (y la cuantificación sobre él). No sabemos cuánta fuerza se requiere para la aritmética de tercer orden y los niveles de expresividad superiores, y una ruptura argumentaría la inexistencia de los niveles superiores.
- Los cardenales grandes pueden ser destruidos por la fuerza. Por ejemplo, podemos destruir todos los medibles mediante el forzamiento de Prikry (haciéndolos cofinalidad $ω$ sin cambiar otras cofinalidades), y podría decirse que no está claro por qué el modelo de tierra en lugar de la extensión es un mejor análogo a $V$ . Además, añadiendo palos, a partir de un modelo de GCH, creo que podemos destruir todos los cardenales de Mahlo preservando GCH y las cofinalidades; y ningún forzamiento puede resucitar a Mahloness.

Argumentos afirmativos para la no existencia:
- Argumento predicativista para $V=L$ . Los predicativistas sostienen que ciertos objetos se construyen (esencialmente) por etapas, y que la cuantificación se permite plenamente sólo sobre las etapas previamente construidas. La mayoría de los predicativistas comienzan con números naturales, pero si se aceptan también ordinales arbitrarios, el resultado es el universo construible $L$ - cada etapa de $L$ se añade predicativamente. Se objetaría entonces el cero agudo de forma análoga a la objeción predicativista tradicional al cero hiperjuego (Kleene's $\mathcal{O}$ ). Además, a algunos matemáticos les gusta simplemente $L$ como un universo canónico ordenado que satisface ZFC (y es $Σ^1_2$ -correcto).
- Contra los cardenales medibles:
  - La no rigidez (incrustación elemental no trivial $V→M$ ) podría decirse que altera cualitativamente el comportamiento de $V$ y es contrario a cómo $V$ se comporta a niveles inferiores.
  - Los cardinales medibles provocan algunos contraejemplos en topología.
  - Bajo $HOD(ℝ)⊨\mathrm{AD}$ , $ω_1^V$ es el menos medible en HOD (asumiendo que la prueba de la falta de medibles inferiores se aplica aquí). La ausencia de cardinales medibles inferiores, combinada con el hecho de que todo subconjunto definible ordinalmente de $ω_1$ es construible a partir de un real, y que la medida sobre $ω_1$ es "causada" por una estructura externa (el filtro del club en $ω_1$ ) (junto con la amplitud general de los medibles y la existencia del forzamiento de Prikry) sugieren la posibilidad de que los cardinales medibles no se den en la jerarquía acumulativa por sí mismos, sino que reflejen una restricción en $\mathcal{P}(κ)$ .
(Sin embargo, en el balance, encuentro que las pruebas apoyan la existencia de medibles).

Answer 2

Según esto comentario de François Dorais, Petr Vopěnka dudó de los axiomas cardinales mayores, y dio un ejemplo de una afirmación que creía falsa, pero que estaba implicada por algunos axiomas cardinales mayores. Nadie ha encontrado nunca una prueba de que su afirmación -conocida ahora como el principio de Vopěnka- sea falsa, y ahora se considera un axioma cardinal más.

Hay más detalles en el hilo, pero haré un resumen rápido: Un conjunto o clase de grafos es "rígido" si no existen homomorfismos gráficos no triviales entre los grafos del conjunto. Vopěnka demostró que existen conjuntos de grafos rígidos de cardinalidad arbitrariamente grande, y conjeturó que debe haber una clase propia de grafos con la misma propiedad. Si alguien construye tal clase, entonces eso demuestra que el mayor de los axiomas de cardinalidad grande es inconsistente con ZFC.

Answer 3

Todavía no he discutido estas preocupaciones sobre la consistencia de los cardenales I3-I0 con muchos teóricos de conjuntos. Por favor, vote hacia arriba si cree que mis preocupaciones sobre el álgebra de incrustaciones elementales deberían producir al menos algunas dudas sobre la consistencia de los cardinales de rango a rango. Por favor, vota hacia abajo si no crees que mis preocupaciones sobre las álgebras de incrustaciones elementales deberían producir dudas sobre la consistencia de los cardinales de rango a rango. He hecho este post en la wiki de la comunidad para que la gente se sienta más libre de votar a favor o en contra de esta respuesta basándose en estos nuevos criterios.

Personalmente, tengo algunas dudas sobre la consistencia de los cardinales de rango a rango, ya que me preocupa una posible inconsistencia derivada de las álgebras de incrustaciones de rango a rango.

Definir los términos de Fibonacci $t_{n}$ para $n\in\omega$ por $t_{1}(x,y)=y,t_{2}(x,y)=x$ y $t_{n+2}(x,y)=t_{n+1}(x,y)*t_{n}(x,y)$ . Un sistema LD permutativo reducido [1] es un álgebra distributiva izquierda $(X,*)$ junto con un elemento $1\in X$ tal que $1*x=x$ para cada $x\in X$ y donde para cada $x,y\in X$ existe un $n$ avec $t_{n}(x,y)=1$ .

Dejemos que $\mathcal{E}_{\lambda}$ sea el conjunto de todas las incrustaciones elementales $j:V_{\lambda}\rightarrow V_{\lambda}$ . Entonces, defina $j*k=\bigcup_{\alpha<\lambda}j(k|_{V_{\alpha}})$ para $j,k\in\mathcal{E}_{\lambda}$ . Si $\gamma<\lambda$ es un ordinal límite, entonces define $j\equiv^{\gamma}k$ si $j(x)\cap V_{\gamma}=k(x)\cap V_{\gamma}$ para cada $x\in V_{\gamma}$ ( $\equiv^{\gamma}$ es una congruencia en $(\mathcal{E}_{\lambda},*,\circ)$ )

Intuitivamente, los sistemas permutativos LD reducidos se parecen a las álgebras de incrustaciones elementales $(\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma},*,\circ)$ de las siguientes maneras:

1. Los sistemas LD permutativos reducidos tienen una noción de operación de composición. En particular, si $x,y\in X$ entonces podemos definir $x\circ y=t_{n+1}(x,y)$ donde $n$ es un número natural tal que $t_{n}(x,y)=1$ .

2. Los sistemas LD permutativos reducidos tienen una noción de punto crítico. Definimos $\textrm{crit}(x)\leq \textrm{crit}(y)$ si existe algún $n$ donde $x^{n}*y=1$ . La noción de punto crítico se comporta muy bien para las álgebras permutativas reducidas, ya que los puntos críticos en los sistemas LD permutativos reducidos satisfacen la mayoría de las propiedades principales que satisfacen los puntos críticos de las incrustaciones de rango a rango. Además, la noción de punto crítico en los sistemas LD permutativos reducidos no es sólo una generalización de la teoría de conjuntos al álgebra, sino que la noción de punto crítico en un sistema LD permutativo reducido es una parte esencial de la teoría de los sistemas LD permutativos.

3. Toda álgebra de la forma $\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma}$ es un sistema LD permutativo reducido.

Los siguientes resultados muestran que la noción de punto crítico en un sistema LD permutativo se comporta casi igual que la noción de punto crítico en un álgebra de incrustaciones elementales.

$\mathbf{Theorem:}$ Supongamos que $X$ es un sistema LD permutativo reducido.

1. $\textrm{crit}[X]=\{\textrm{crit}(x)|x\in X\}$ es una ordenación lineal.

2. Si $\textrm{crit}(x)\leq\textrm{crit}(y)$ entonces $\textrm{crit}(r*x)\leq \textrm{crit}(r*y)$ .

3. $\textrm{crit}(x\circ y)=\min(\textrm{crit}(x),\textrm{crit}(y))$

4. $x=1$ si y sólo si $\textrm{crit}(x)$ es el elemento más grande de $\textrm{crit}[X]$ .

Si $x\in X$ , entonces defina un mapeo $x^{\sharp}:\textrm{crit}[X]\rightarrow \textrm{crit}[X]$ dejando $x^{\sharp}(\textrm{crit}(y))=\textrm{crit}(x*y)$ .

$\mathbf{Theorem:}$ Supongamos que $X$ es un sistema LD permutativo reducido.

1. $\alpha\leq x^{\sharp}(\alpha)$

2. $\alpha<x^{\sharp}(\alpha)$ precisamente cuando $\textrm{crit}(x)\leq\alpha<\max(\textrm{crit}[X])$

3. La cartografía restringida $x^{\sharp}|_{A}$ donde $A=\{\alpha\in \textrm{crit}[X]|x^{\sharp}(\alpha)<\max(\textrm{crit}[X])\}$ es inyectiva.

4. $x^{\sharp}(y^{\sharp}(\alpha))=(x\circ y)^{\sharp}(\alpha)$

En este punto, dado que los sistemas LD permutativos y las álgebras de incrustaciones elementales son tan similares, es razonable conjeturar que todo sistema LD permutativo reducido finito es isomorfo a alguna subálgebra de alguna $\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma}$ . Esta conjetura es falsa. Considere los siguientes hechos.

$\mathbf{Fact:}$ Si $j:V_{\lambda}\rightarrow V_{\lambda}$ es elemental, entonces $j*j(\alpha)\leq j(\alpha)$ para todos $\alpha<\lambda$ . En particular, $\textrm{crit}((j*j)*k)=(j*j)(\textrm{crit}(k))\leq j(\textrm{crit}(k))=\textrm{crit}(j*k)$ para todos $j,k\in\mathcal{E}_{\lambda}$

Por otro lado, existen sistemas LD permutativos $(M,*)$ junto con $x,y\in M$ tal que $\textrm{crit}((x*x)*y)>\textrm{crit}(x*y)$ (tales álgebras $(M,*)$ fueron descubiertos mediante cálculos informáticos). Por lo tanto, el álgebra $(M,*)$ no puede surgir de las álgebras de incrustaciones elementales. Una posible explicación entre esta discrepancia es que puede ser posible demostrar que $(M,*)$ es en realidad una subálgebra de alguna $\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma}$ en algún modelo y así obtener una incoherencia.

Las álgebras $M$ donde $\textrm{crit}((x*x)*y)>\textrm{crit}(x*y)$ para algunos $x,y\in M$ junto con la gran fuerza de consistencia de los cardenales de rango a rango me ha hecho dudar de la existencia y consistencia de los cardenales de rango a rango. Al fin y al cabo, los cardinales rango-en-rango están muy cerca de la inconsistencia de Kunen, y están muy por encima de los cardinales para los que existe una buena teoría del modelo interno. Además, el mero hecho de que los cardenales de rango a rango puedan utilizarse para demostrar resultados puramente algebraicos es una razón para creer que los cardenales de rango a rango son el punto más vulnerable de la jerarquía de cardenales grandes a una inconsistencia.

Con todo lo dicho, es probable que haya una mejor explicación para la existencia de sistemas LD permutativos reducidos $(M,*)$ avec $\textrm{crit}((x*x)*y)>\textrm{crit}(x*y)$ . Es probable que la única razón por la que parece haber una discrepancia entre el álgebra y la teoría de conjuntos sea que las álgebras de incrustaciones de rango a rango son muy poco conocidas. Cuando las álgebras de incrustaciones de rango a rango se comprendan mejor, probablemente me retractaré de mis dudas sobre la existencia y consistencia de los cardinales de rango a rango. Por último, la casi inconsistencia de los cardinales de rango-en-rango parece implicar que las álgebras de incrustaciones de rango-en-rango pueden utilizarse para seguir demostrando nuevos buenos resultados sobre estructuras algebraicas que no tienen demostración en ZFC. Por lo tanto, creo que sería prudente buscar una posible inconsistencia de los cardinales de rango a rango para que, cuando no surja ninguna inconsistencia, queden muchos resultados algebraicos.

Si hay una incoherencia que surge de las álgebras de incrustaciones elementales, entonces probablemente se pueda demostrar que $n$ -Los cardenales enormes son inconsistentes también para los bastante pequeños $n$ . Por otro lado, los enormes cardenales están probablemente a salvo de tal incoherencia.

Debo mencionar que otros en la comunidad de la teoría de conjuntos no han expresado estas dudas ya que las álgebras con $\textrm{crit}((x*x)*y)>\textrm{crit}(x*y)$ son muy nuevos y nadie más está trabajando en ellos.

[1] Generalizaciones de las tablas de Laver, Joseph Van Name (en curso; espero que esté casi listo para Arxiv)

[2] http://boolesrings.org/jvanname/2016/04/05/set-theory-seminar-february-19-2016-generalized-laver-tables-part-ii/

Answer 4

Erinna, en tu pregunta utilizas la palabra "existir". En la filosofía de las matemáticas, esa es una palabra que forma parte de la discusión. Si sigues la filosofía de Platón, entonces hay un universo matemático perfecto, donde todos los objetos 'existen'. Entonces se puede hablar de la existencia de grandes cardinales. Si se eliminan esos objetos de ese universo, entonces eso es probablemente considerado una pérdida por muchos.

Sin embargo, esta filosofía tiene problemas. El principal problema es cómo este universo matemático interactúa con nuestro mundo cotidiano. Sin esa interacción, no podemos acceder a ese universo. Por supuesto, tengo algunas opiniones personales aquí, y uno puede tener una larga discusión.

En algunas filosofías se intenta tener una matemática más limitada, con sólo objetos matemáticos con un significado claro. En dicha filosofía, los cardenales (grandes) no forman parte de esa matemática limitada. Sin embargo, eso no significa que se rechacen por completo otras construcciones. Pueden seguir siendo construcciones mentales, o metamatemáticas. Construcciones que se pueden utilizar para hacer matemáticas que tengan un significado más claro.

Como se ha dicho, con la filosofía se puede discutir mucho y hay muchos puntos de vista.

Creo que una pregunta mejor es si "los cardenales (grandes) deben formar parte de los fundamentos de las matemáticas". Yo digo firmemente que no a esa pregunta, aunque no me opongo a los cardinales (grandes) como construcción mental.

Lucas