No conozco a ningún teórico de conjuntos en activo que piense que los cardenales grandes son inconsistentes. Al menos, dentro del ámbito de los cardinales que hemos estudiado seriamente.
[Reinhardt sugirió un axioma último de la forma "hay una incrustación elemental no trivial $j:V\to V$ ". Aunque algunos teóricos de conjuntos serios lo consideraron de posible interés inmediatamente después de su formulación, Kunen demostró rápidamente después que esto es inconsistente, utilizando la elección. No se sabe si la elección es necesaria, pero las investigaciones actuales sugieren que, incluso sin elección, los refuerzos naturales de este axioma pueden ser inconsistentes en $\mathsf{ZF}$ solo. Esto no es un argumento contra los cardenales grandes en general. En cambio, nos proporciona limitaciones naturales a su alcance. Para otro ejemplo, véase aquí .]
Hay varios teóricos de conjuntos activos que no se comprometen de una manera u otra con la consistencia de los cardinales grandes, pero los utilizan si es necesario, y no se oponen por motivos matemáticos a los argumentos que los involucran. Para algunos de ellos, la teoría de conjuntos trata de todas las posibles extensiones (naturales) de $\mathsf{ZFC}$ y ciertamente hay muchas extensiones interesantes de este tipo (como $V=L$ ) que descartan a los grandes cardenales. Por lo tanto, no es que consideren los cardenales inconsistentes.
(Confieso que esto puede ser ignorancia por mi parte).
Y sólo conozco a dos matemáticos que hace años eran teóricos de conjuntos serios y que han expresado dudas sobre la consistencia de (ciertos) grandes cardinales. Ninguno de los dos está actualmente en activo dentro del campo, por lo que su posición debe tomarse con un grano de sal, ya que se perdió los resultados significativos de finales de los 80 que muy bien podrían haberles obligado a reconsiderar.
¿Por qué esperamos $\mathsf{ZFC}$ para ser coherente, para empezar? Esperamos algo más que la mera consistencia, por supuesto, pero dudar de los grandes cardinales suele significar desconfiar de la teoría de conjuntos en su conjunto. No soy filósofo, así que no discutiré posiciones filosóficas o justificaciones. Una buena referencia para la heurística detrás de los axiomas básicos de ZFC es el maravilloso documento
Penélope Maddy. Creer en los axiomas. I J. Symbolic Logic, 53 (2) , (1988), 481-511. MR0947855 (89i:03007) .
Los grandes cardenales se discuten en su seguimiento,
Penélope Maddy. Creer en los axiomas. II J. Symbolic Logic, 53 (3) (1988), nº 736-764. MR0960996 (89m:03007) .
Los dos libros de Maddy sobre el platonismo y el naturalismo discuten ampliamente por qué la visión de un universo teórico de conjuntos con grandes cardinales en lugar de no serlo es la opción razonable, dada nuestra comprensión actual, véase
Penélope Maddy. El realismo en las matemáticas . The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1990. MR1075998 (92h:00007) .
y
Penélope Maddy. El naturalismo en las matemáticas . The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1997. MR1699270 (2000e:00009) .
Los libros presentan varios puntos técnicos sutiles que sólo pueden entenderse por completo una vez que uno es consciente de las profundas conexiones entre los grandes cardinales y los absolutos (genéricos). Las opiniones más recientes de Maddy sobre el tema pueden verse aquí:
Penélope Maddy. Defendiendo los axiomas: sobre los fundamentos filosóficos de la teoría de conjuntos . Oxford University Press, Oxford, 2011. MR2779203 .
¿Cómo miden los teóricos de conjuntos la plausibilidad interna de los grandes supuestos cardinales, más allá de su utilidad para demostrar resultados? El objetivo del programa de modelos internos (y de su vástago más reciente, la teoría de modelos internos descriptivos) es desarrollar estructuras finas (" $L$ como") para los grandes cardenales. Estos modelos son canónicos de varias maneras precisas, y tienen una rica estructura interna que muchos teóricos de conjuntos toman como evidencia de la consistencia de los grandes cardinales considerados. Gracias a sus avances, hoy en día tenemos una visión mucho más clara del universo de la teoría de conjuntos (por ejemplo, ahora tenemos los diferentes lemas de cobertura, y varios resultados de invariancia genéricos) que cuando comenzó el programa, motivado por lo que ahora llamamos el programa de Gödel.
Actualmente, el programa ha superado con creces los cardenales de Woodin, pero aún no ha llegado al nivel de los cardenales supercompactos. Esto puede interpretarse como que, utilizando las herramientas más potentes de que disponemos actualmente, estamos bastante seguros de la consistencia de, digamos, "hay un límite de Woodin de cardinales de Woodin". El tiempo dirá si el programa alcanza la supercompacidad. Si no lo hace, esto nos proporcionará una fuerte evidencia de su inconsistencia, aunque no estoy seguro de que nadie espere realmente que éste sea el resultado.
John Steel y Tony Martin han perfeccionado a lo largo de los años algo que llaman "el discurso", en el que explican su posición respecto a los grandes cardenales. Merece la pena leerlo, y tratar de resumirlo en unas pocas líneas sería una injusticia. Se puede encontrar en estos dos envíos a la lista de Fundamentos de las Matemáticas (FOM): 1 , 2 (la notación aquí es $P_T =$ conjunto de $\Pi^0_1$ consecuencias de $T$ ), y en las ponencias del panel "¿Necesitan las matemáticas nuevos axiomas?", véase
Solomon Feferman, Harvey M. Friedman, Penelope Maddy y John R. Steel. ¿Necesitan las matemáticas nuevos axiomas? , Bull. Lógica Simbólica, 6 (4) ,(2000), 401-446. MR1814122 (2002a:03007) .
Las opiniones de Steel también se presentan con cierto detalle en los libros de Maddy. Para ver los avances más recientes, consulte su charla:
John Steel. El programa de Gödel , impartido en la reunión del CSLI en Stanford, el 1 de junio de 2013.
A riesgo de no ser equilibrado, permítanme señalar algunos aspectos destacados: Tenemos una imagen coherente del universo de conjuntos, con grandes cardinales. Podemos, dentro de esta imagen, interpretar teorías en las que no hay tales cardinales. Sin embargo, no tenemos una imagen tan coherente en la dirección opuesta. Las consecuencias de los cardinales grandes, en el nivel aritmético (y más, a medida que subimos en la jerarquía) son compatibles. Las consecuencias aritméticas de cualquier extensión natural de $\mathsf{ZFC}$ caen en algún lugar dentro de esta jerarquía (en cuanto a las teorías que podemos analizar actualmente), incluso si la teoría no menciona grandes cardinales. De hecho, los enunciados de determinismo, incompatibles con la elección, también caen dentro de esta jerarquía y son mutuamente interpretables con los cardinales grandes (de nuevo, en cuanto a las teorías que podemos analizar actualmente). Estas profundas conexiones con la determinación están detrás de lo que ahora llamamos teoría del modelo interno descriptivo, véase
Grigor Sargsyan. Teoría del modelo interno descriptivo , Bull. Lógica Simbólica, 19 (1) , (2013), 1-55.
Los cardinales grandes nos proporcionan la absolutez genérica, y la absolutez genérica, un requisito natural si estamos interesados en entender la teoría proyectiva de los reales, requiere la consistencia de los cardinales grandes. Véase esto respuesta para saber un poco más sobre esta cuestión; permítanme subrayar que no se trata de un requisito técnico o artificial, sino de una extensión natural de los resultados básicos de la teoría de conjuntos descriptiva clásica.
Los cardenales grandes parecen inherentemente necesarios para la práctica matemática, no sólo para la teoría de conjuntos. Harvey Friedman ha escrito extensamente sobre este tema.
En resumen: tenemos una medida muy clara del progreso en la comprensión de los grandes cardenales y sus consecuencias. Según esta medida, ahora podemos entender muchas cuestiones de teoría de conjuntos que no implican grandes cardinales, pero para las que son necesarios de manera más profunda (no sólo en cuanto a la consistencia). Esta medida requiere realmente los cardinales grandes, no tenemos nada parecido sin ellos. Esta medida es significativa incluso en entornos que no son teóricos de conjuntos, y parece inevitable incluso dentro de la práctica matemática (aunque quizás es demasiado pronto para decir lo significativo que será al final para los "matemáticos practicantes"). No tenemos ningún modelo matemático serio en el que los cardinales grandes sean inconsistentes, sin embargo, tenemos un programa serio de investigación que, en última instancia, nos enseñaría eso, si fuera el caso. El programa nos ha proporcionado, en cambio, muchos resultados positivos (en particular, tenemos bonitos modelos internos para la mensurabilidad, para los cardinales fuertes, para los cardinales de Woodin, y tenemos bonitos modelos internos de modelos de determinación, que capturan los grandes cardinales que nos proporcionan la consistencia de los enunciados de determinación).
Para terminar, entendemos (motivamos/explicamos) los grandes cardinales dentro del contexto más amplio de los principios de reflexión, los más sencillos de los cuales se desprenden ya de $\mathsf{ZFC}$ . (Por otro lado, no conozco ninguna objeción a los cardenales grandes más allá de "son demasiado grandes" o "no me parecen correctos", ninguna de las cuales me parece matemática. La primera también parece especialmente artificial.
El único "programa" hacia su inconsistencia (que yo conozca) produjo en cambio muchas consecuencias interesantes para el cálculo de la partición a nivel de $0^\sharp$ (y es quizás responsable de la primera teoría de $0^\sharp$ mismo). Por lo que tengo entendido, un intento similar de refutar los cardinales medibles resultó en cambio en el desarrollo del lema de cobertura, que desde entonces ha sido una de las herramientas clave para medir nuestra comprensión de grandes cardinales particulares como parte del programa del modelo interno, véase
William J. Mitchell. El lema de cobertura . En Manual de teoría de conjuntos. Vols. 1, 2, 3 Matthew Foreman y Akihiro Kanamori, eds., pp. 1497-1594, Springer, Dordrecht, 2010. MR2768697 . ( La máquina del retroceso )
Quizá deba añadir que nuestras intuiciones sobre los grandes cardenales no son gratuitas, sino que son el resultado de los programas mencionados anteriormente. En particular, desconfío de a priori desconfianza de los grandes cardenales, ya que tiende a ocultar la incomprensión, o la ignorancia, de las verdaderas matemáticas implicadas en estos programas.
