¿Por qué el anillo de cohomología de un espacio H es un álgebra de Hopf?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio H de tipo finito. Esto significa que $H^*(X)$ está generada finitamente, y existe una "multiplicación $\mu:X \times X \to X$ y una "identidad $e\in X$ de manera que los mapas $x \mapsto \mu(x,e)$ y $x \mapsto \mu(e,x)$ son homotópicos al mapa de identidad (Obsérvese que no se requieren "inversiones" ni "asociatividad"). He oído que el anillo de cohomología $H^*(X)$ tiene entonces la estructura de un álgebra de Hopf. Sin embargo, no entiendo cómo demostrar esto.

A mi entender, un álgebra de Hopf $A$ es un álgebra con una co-multiplicación $\Delta: A \to A \otimes A$ y un mapa antípoda $S:A \to A$ tal que $\mu((S\times Id)(\Delta(x)))=\mu((Id\times S)(\Delta(x)))=1$ . En nuestro caso, el producto de la copa $H^*(x) \otimes H^*(X) \to H^*(X)$ puede actuar como la multiplicación, mientras que el homomorfismo inducido $\mu^*:H^*(x) \to H^*(X) \otimes H^*(X)$ puede actuar como la co-multiplicación (aquí se utiliza la fórmula de Kunneth). Sin embargo, lo que desempeñará el papel del mapa antípoda $S$ ? Una primera idea sería el homomorfismo inducido por el inverso, pero los espacios H pueden no tener inversos.

Me confunde aún más el hecho de que, al buscar en Internet, muchas fuentes demuestran la afirmación "el anillo de cohomología de un espacio H es un álgebra de Hopf" adaptando una definición de álgebra de Hopf diferente a la que he dicho arriba. Esta definición alternativa es: un álgebra graduada $A$ con una co-multiplicación $\Delta: A \to A \otimes A$ tal que $\Delta(x)=1 \otimes x + x \otimes 1 + \Sigma x'_i \otimes x''_i$ , donde $0<|x'_i|,|x''_i|<|x|$ . Es bastante fácil demostrar que $H^*(X)$ es un álgebra de Hopf de esta definición, simplemente siguiendo diagramas de homomorfismos inducidos, pero no me queda claro que estas dos definiciones de álgebra de Hopf sean equivalentes (incluso si requerimos una gradación en la primera definición).

Además, si estas dos definiciones son efectivamente equivalentes, entonces parece que el mapa antípoda $S$ debe poder obtenerse a partir de la multiplicación y co-multiplicación de forma natural, lo que se traduce en un método de expresión en términos de algún mapa sobre el espacio H $X$ . Sin embargo, no puedo ver cómo cualquier mapa encaja en el papel de $S$ aparte de un inverso.

Se agradecerá cualquier comentario o referencia.

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta que si $X$ es un complejo H asociativo, entonces tiene un inverso único. Si no es asociativo, entonces tiene inversos únicos a la izquierda y a la derecha, y existen condiciones para que éstos sean iguales. Una referencia es "The inverses of an H-space" de Arkowitz, Oshima, Strom.

En el caso general, una antípoda puede definirse en sentido degenerado, ya que $X$ es de tipo finito.

Una afirmación más general, tal y como señala Qiaochu Yuan, se encuentra en la sección 21.3 de "More Concise Algebraic Topology" de May y Ponto.

Yo no me preocuparía demasiado por las ligeras diferencias en las definiciones. En la literatura se han adoptado diferentes definiciones generales tanto de las álgebras de Hopf como de los espacios H. Los topólogos algebraicos, en particular, están acostumbrados a trabajar con complejos de CW y pueden pasar por alto los puntos más finos de la teoría completa para hacer su trabajo más accesible, ya que tratan principalmente con una clase tan agradable de álgebras de Hopf.

Ciertamente, en el caso de un álgebra de Hopf finita (de tipo) y positivamente graduada, las dos definiciones que das coinciden. Estas son ciertamente la clase estudiada por los topólogos algebraicos. Creo que la segunda definición tiene algunas dificultades sin el supuesto de la acotación.

Para su última pregunta, tenga en cuenta que la comulgación en $X$ no es topológico. Viene de la diagonal $\Delta:X\rightarrow X\times X$ seguido del isomorfismo (inverso del) de Kunneth. Ahora el isomorfismo de Kunneth puede definirse topológicamente por un mapa $H^*(X)\otimes H^*(X)\xrightarrow{\cong} H^*(X\times X)$ obtenida por la unión de mapas en espacios de Eilenberg Mac-Lane. La inversa se define en términos puramente algebraicos y no estoy seguro de cómo se utilizaría para producir un inverso H topológico para $X$ en el caso general.