Variable aleatoria correspondiente a la suma de funciones de densidad

Question

La distribución de funciones de variables aleatorias está bien estudiada para varios casos diferentes y generales, pero no he encontrado muchos resultados para la inversa.

Supongamos que $X_1, X_2$ son variables aleatorias (probablemente independientes) y tenemos $X_1\sim f(x_1)$ y $X_2\sim g(x_2)$ . Construir una nueva distribución para la nueva variable aleatoria $X$ como sigue: $$X\sim p(x)=\frac{1}{\kappa}(f(x)+g(x))$$ donde $\kappa$ es un factor de normalización tal que la función es una función de densidad. ¿Es posible expresar $X$ en función de $X_1$ y $X_2$ de manera que su PDF sea $p(x)$ ?

Más formalmente, encontrar una función $G$ tal que $$X=G(X_1, X_2)\sim p(x)$$

Nota: " $\sim$ " denota la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria.

Nota 2: Si tuviéramos $p(x)=f(x)*g(x)$ , donde $*$ es el signo de la convolución, entonces creo que podemos escribir $G(X_1, X_2) = X_1+X_2$ .

Nota 3: He hecho la misma pregunta aquí para el producto de las funciones de densidad.

Answer 1

Supongo que $X_1 \sim f(x_1)$ significa que la distribución de $X_1$ tiene una función de densidad $f$ .

Tenga en cuenta, en primer lugar, que su $\kappa$ sólo puede ser $2$ de lo contrario, la integral de $p$ no será igual a $1$ . Entonces $p$ es la densidad de un mezcla de $X_1, X_2$ corresponde a lanzar una moneda al aire para decidir si se toma $X_1$ o $X_2$ . En notación, si $A$ es un evento de probabilidad $1/2$ que es independiente de $(X_1, X_2)$ entonces $p$ es la densidad de la variable aleatoria $X = 1_A X_1 + 1_{A^c} X_2$ . También se puede pensar en ello como $X = Z X_1+ (1-Z) X_2$ donde $Z$ es una variable aleatoria Bernoulli(1/2) independiente de $(X_1, X_2)$ .

En general, una variable aleatoria de este tipo no puede escribirse como una función de $X_1, X_2$ solo.