¿Cómo demostrar que un polinomio no tiene raíces reales?

Question

Por ejemplo, tomemos el polinomio

$$x^8-x^7+x^2-x+15$$

Aquí, la potencia ( $n=8$ ) es uniforme por lo que puede tener raíces reales o puede no tenerlas.

Algo que se me ocurrió fue encontrar los mínimos y demostrar que si los mínimos de $p(x)$ es mayor que $0$ y $a_1$ que es el coeficiente de $x^8$ son ambos mayores que $0$ entonces no podemos tener raíces reales . Pero en este caso la derivada es $8x^7-7x^6+2x-1$ y no puedo encontrar mínimos para ello . Entonces, ¿qué debo hacer en este ejemplo? Bueno ya se da que este polinomio no tiene raíces reales, pero tengo que demostrarlo.

Además, aunque consiga que esto no tenga ninguna raíz real, ¿es este un método general para todo tipo de polinomios?

Editar: Sé que el teorema de Strum es una forma general de resolver este tipo de preguntas, pero esta pregunta es de un trabajo de ingreso a la licenciatura y supongo que un método al alcance del cálculo o algo similar bastará mejor.

Answer 1

Es evidente que no hay ninguna raíz negativa, ya que todos los términos son positivos para $x < 0$ . La pregunta sigue siendo si hay raíces positivas. He aquí una forma sencilla que suele funcionar.

Caso 1: $0 < x <1$ .

$$P(x) = (15-x) + (x^2-x^7) + x^8 > 0$$ ya que cada término es positivo.

Caso 2: $ x > 1$ . Del mismo modo, $$P(x) = (x^8-x^7) + (x^2-x) + 15 > 0$$

como $x=1$ no es una raíz, hemos terminado.

Answer 2

El polinomio se puede reescribir $$ x^7(x-1) + x(x-1) + 15. $$

A menos que $x$ está entre $0$ y $1$ los dos primeros términos son positivos, por lo que el polinomio es positivo.

Incluso si $x$ está entre $0$ y $1$ los dos primeros términos son de una magnitud ínfima, ciertamente cada uno de ellos mayor que $-1$ para que cuando $15$ se añade a su suma, el resultado es positivo.

Por tanto, el polinomio no tiene raíces reales.

Answer 3

Debe quedar claro que en el intervalo $[-1,1]$ tienes $|x^8-x^7+x^2-x|\leq |x^8|+|x^7|+|x^2|+|x|\leq 4$ y así $x^8-x^7+x^2-x+15\geq 11$

Además, debe notar que $x^8-x^7>0$ cuando $|x|>1$ y que $x^2-x>0$ cuando $|x|>1$ Así que $x^8-x^7+x^2-x+15\geq 11$ para todos $x$

Answer 4

Después de pensar durante la noche, se me ocurrió que el método del cartel podría funcionar, con un poco de esfuerzo... \begin{align} f(x) &= x^8 − x^7 + x^2 − x + 15 \\ f'(x) &= 8x^7 - 7x^6 + 2x - 1 \\ f''(x) &= 56 x^6 - 42 x^5 + 2 \\ f'''(x) &= 336 x^5 -210 x^4 \end{align}

Las raíces de $f'''(x)$ son $\{0,0,0,0,\frac{105}{168}\}$ . Para $x<0$ y $x \in \left(0,\frac{105}{168}\right)$ , $f'''(x) < 0$ (verifique en $1/2$ , obteniendo $\sim 10 - 13$ ). Para $x > \frac{105}{168}$ , $f'''(x)>0$ (verifique en $1$ ). Esto significa que $f''(x)$ es monotónicamente no creciente en $\left(-\infty, \frac{105}{168}\right)$ y monótonamente creciente en $\left( \frac{105}{168}, \infty\right)$ . Así que si $f''$ tiene cualquier raíz, tiene como máximo una en cada uno de esos intervalos y puede tener una en $\frac{105}{168}$ .

$f''\left(\frac{105}{168}\right) \approx (56 \times 0.6 - 42)(0.6)^5 + 2 \approx -6^6/10^5 + 2$ pero $6^6 = 36 \times 36 \times 6 \approx 6000$ Así que $f''\left(\frac{105}{168}\right) \in (1,2)$ . (El resultado exacto es $2-\frac{6675.72 \dots}{10^5} = \frac{43661}{32768}$ Así que altere la estimación para que uno esté contento). En consecuencia, $f''$ no tiene raíces y descubrimos $f'$ es monótonamente creciente.

$f'(0) = -1$ y $f'(1) = 2$ Así que $f'$ tiene una raíz en $(0,1)$ y $f$ tiene allí un mínimo global.

En $(0,1)$ , $x^7 > x^8$ y $x > x^2$ Así que ambos $x^8 - x^7$ y $x^2 - x$ mienten en $(-1,0)$ . Pero entonces un límite inferior para $f$ en $(0,1)$ es $-1+-1+15 > 0$ Así que $f$ es positivo en todos los $\mathbb{R}$ . (De hecho, el mínimo es $14.7454\!\dots$ que se produce cuando $x = 0.530791\!\dots\,$ .)

Por lo tanto, $f$ no tiene ninguna raíz real.

(Habría estado bien que las cuatro raíces de $f'''$ en el cero no habían huido todos de la línea real al pasar a la segunda derivada; creo que el manejo de esa es la única técnica de "tuercas y tornillos" que este ejemplo no utilizó).