Producto tensorial $\mathbb{R}{\otimes}_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$

Question

¿Es cierto que cualquier elemento de $\mathbb{R}{\otimes}_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ ¿es simétrico?

Gracias.

Answer 1

Si por simétrico quieres decir invariante bajo el mapa $x\otimes y\mapsto y\otimes x$ entonces no. Si tomas una base $\{\alpha_i:i\in I\}$ para $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}$ y elementos distintos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ de esta base, entonces $\alpha_1\otimes\alpha_2\neq\alpha_2\otimes\alpha_1$ . Esto se debe a que cada elemento de $\mathbb{R}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{R}$ es únicamente de la forma $\sum_{i\in I}\alpha_i\otimes\beta_i$ para los números reales $\beta_i$ , todos menos un número finito de ellos son iguales a cero.