Probablemente nunca "entendiste" esto porque no hay mucho que entender. No hay una sola frase que se pueda señalar que conecte directamente la visión despiadadamente abstracta de las teorías gauge como las teorías de las conexiones en los haces principales en un extremo y los campos eléctricos y magnéticos que conocemos. Estas dos cosas están en los dos extremos de una escala móvil de abstracción, y para entender su conexión hay que entender todos los pasos del camino. Para entender la cuantización de las teorías gauge, debes asegurarte de que ya estás cómodo con la cuantización de las teorías de campo "ordinarias". Si sólo eres "nuevo en la teoría cuántica de campos", ten paciencia. Aprende a caminar (cuantificar un campo escalar, cuantificar un espinor de Dirac, tener algunas interacciones) primero antes de intentar correr de cabeza hacia la cuantización de las teorías gauge. Sin embargo, aquí hay algunas observaciones:
En primer lugar, lo que se escribe en términos de operadores de creación y aniquilación en la teoría cuántica de campos son los gratis campos, no los campos de interacción que realmente determinan lo que sucede. No se puede ver una conexión entre ese campo libre y ninguna fuerza porque no describe (el potencial de) ninguna fuerza real, es una ficción conveniente para definir una interpretación de partículas en la teoría de campos.
La teoría cuántica de campos estándar procede tomando un Lagrangiano de la teoría de campos clásica y aplicándole prescripciones de cuantificación (normalmente la canónica o la integral de trayectoria). La formulación lagrangiana del electromagnetismo es bien conocida por ser la de una $\mathrm{U}(1)$ teoría gauge, con el cuatro-potencial electromagnético como conexión gauge. El espacio base es, por supuesto, el espaciotiempo, el $\mathrm{U}(1)$ -es normalmente el haz trivial (no hay ningún haz no trivial $\mathrm{U}(1)$ sobre el espacio de Minkowski). La cuantificación de esta teoría -con especial atención a la naturaleza de la invariancia gauge, llamada cuantificación de Gupta-Bleuler en este caso abeliano y Cuantificación BRST en el caso de un grupo gauge general- da lugar a la electrodinámica cuántica, de la que uno, a su vez y tranquilamente puede derivar el potencial de Coulomb clásico y por lo tanto la fuerza clásica.
Las otras dos fuerzas fundamentales cuya teoría cuántica se conoce son descritas ahora por grupos gauge no abelianos, pero exactamente los mismos Lagrangianos - el término cinético estándar para un campo gauge junto con el propio campo gauge acoplándose a una corriente cargada bajo él. Sin embargo, debido a su ausencia a escalas más clásicas -para la fuerza fuerte, debido al confinamiento, para la fuerza débil, debido a la elevada masa de sus bosones- no podemos examinar fácilmente su límite clásico para asegurarnos de que la cuantización de tales teorías gauge no belianas tiene sentido. Sin embargo, resulta que las predicciones se ajustan bastante bien a lo que observamos, sobre todo en los colisionadores, ya que el régimen de baja energía es de difícil acceso en la QCD.
Cabe decir que la relevancia de la visión del haz de la teoría gauge resurge en particular cuando se consideran las llamadas anomalías, que suelen ser obstrucciones a la cuantificación adecuada que son no-perturbativas y global en la naturaleza. Sin embargo, el procedimiento de cuantificación del BRST en sí mismo es probablemente más natural en la visión hamiltoniana de la teoría gauge, que es como ciertos tipos de sistemas restringidos. Para más detalles sobre estos temas, véase, por ejemplo, la obra de Bertlmann Anomalías y la de Henneaux y Teitelboim Cuantización de los sistemas gauge aunque este último no menciona el punto de vista del haz de las teorías gauge.
