Las ecuaciones de Einstein se pueden resumir a grandes rasgos como la relación principal entre la materia y la geometría del espaciotiempo . Intentaré dar una descripción cualitativa de lo que significa cada término de la ecuación. Sin embargo, tengo que advertir a los posibles lectores que esto no ser una respuesta corta. Además, me abstendré de intentar derivar las ecuaciones de manera "elemental", ya que ciertamente no conozco ninguna.
Materia
En el lado derecho de la ecuación, lo más importante es la aparición del tensor de energía-momento $T_{\mu\nu}$ . Codifica exactamente cómo se distribuye la materia -entendida en sentido amplio, es decir, cualquier medio portador de energía (o masa o momento o presión)- en el universo. Para entender cómo interpretar los subíndices del $T$ Ver mi explicación del tensor métrico más abajo.
Se multiplica por algunas constantes fundamentales de la naturaleza $\Big($ el factor $\frac{8\pi G}{c^4}\Big)$ pero esto no tiene ninguna importancia crucial: Se pueden ver como herramientas de contabilidad que llevan la cuenta de las unidades de las cantidades que están relacionadas por la ecuación. De hecho, los físicos profesionales suelen tomarse la libertad de redefinir nuestras unidades de medida para simplificar el aspecto de nuestras expresiones deshaciéndose de constantes molestas como ésta. Una opción particular sería elegir "unidades de Planck reducidas", en las que $8\pi G=1$ y $c=1$ para que el factor se convierta en $1$ .
Geometría diferencial
En el lado izquierdo de las ecuaciones de Einstein, encontramos algunos términos diferentes, que en conjunto describen la geometría del espaciotiempo. La relatividad general es una teoría que utiliza el marco matemático conocido como Geometría (semi)riemanniana . En esta rama de las matemáticas, se estudian los espacios que son en cierto sentido suave y que están equipados con un métrica . Intentemos primero entender lo que significan estas dos cosas.
La propiedad de suavidad puede ilustrarse con el ejemplo intuitivo (e históricamente importante) de una superficie lisa (bidimensional) en un espacio tridimensional ordinario. Imaginemos, por ejemplo, la superficie de un balón de fútbol idealizado, es decir, una 2-esfera. Ahora bien, si uno centra su atención en una parte muy pequeña de la superficie (sosteniendo el balón frente a su propia cara), parece que el balón es bastante plano. Sin embargo, es evidente que no lo es globalmente plana. Sin ánimo de rigor matemático, podemos decir que los espacios que tienen esta propiedad de parecer localmente planos son suave en algún sentido. Matemáticamente, se les llama colectores. Por supuesto, una superficie globalmente plana, como una hoja de papel infinita, es el ejemplo más sencillo de este tipo de espacio.
En la geometría de Riemann (y geometría diferencial más en general) se estudian dichos espacios lisos (variedades) de dimensión arbitraria. Una cosa importante que hay que tener en cuenta es que se pueden estudiar sin imaginando que están incrustados en un espacio de mayor dimensión, es decir, sin la visualización que pudimos utilizar con el balón de fútbol, o cualquier otra referencia a lo que puede o no estar "fuera" del propio espacio. Se dice que se pueden estudiar, y su geometría, intrínsecamente .
La métrica
Cuando se trata de estudiar intrínsecamente la geometría de las variedades, el principal objeto de estudio es la métrica (tensor). Los físicos suelen denotarlo por $g_{\mu\nu}$ . En cierto sentido, nos dota de una noción de distancia en el colector. Consideremos un colector bidimensional con métrica, y pongamos una "cuadrícula de coordenadas" en él, es decir, asignemos a cada punto un conjunto de dos números, $(x,y)$ . Entonces, la métrica puede ser vista como una $2\times 2$ matriz con $2^2=4$ entradas. Estas entradas están etiquetadas con los subíndices $\mu,\nu$ que pueden ser elegidos para igualar $x$ o $y$ . La métrica puede entenderse entonces como una simple matriz de números:
$$\begin{pmatrix} g_{xx}&g_{xy}\\ g_{yx}&g_{yy}\end{pmatrix}$$
También debemos decir que la métrica está definida de forma que $g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$ es decir, es simétrica con respecto a sus índices. Esto implica que, en nuestro ejemplo, $g_{xy}=g_{yx}$ . Ahora, consideremos dos puntos que están cerca, tales que la diferencia de coordenadas entre ambos es $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)\;.$ Podemos denotar esto en notación abreviada como $\mathrm{d}l^\mu$ donde $\mu$ es $x$ o $y\;,$ y $\mathrm{d}l^x=\mathrm{d}x$ y $\mathrm{d}l^y=\mathrm{d}y\;.$ Entonces definimos el cuadrado de la distancia entre los dos puntos, llamado $\mathrm{d}s\;,$ como
$$\mathrm{d}s^2= g_{xx}\mathrm{d}x^2+g_{yy} \mathrm{d}y^2 + 2 g_{xy}\mathrm{d}x \mathrm{d}y= \sum_{\mu,\nu\in\{x,y\}}g_{\mu\nu}\mathrm{d}l^\mu \mathrm{d}l^\nu$$
Para tener una idea de cómo funciona esto en la práctica, veamos un espacio plano bidimensional infinito (es decir, la hoja de papel antes mencionada), con dos coordenadas planas "estándar" $x,y$ definida en ella por una rejilla cuadrada. Entonces, todos sabemos por el teorema de Pitágoras que
$$\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2= \sum_{\mu,\nu\in\{x,y\}}g_{\mu\nu}\mathrm{d}l^\mu \mathrm{d}l^\nu$$
Esto demuestra que, en este caso, la métrica natural en el espacio bidimensional plano viene dada por
$$g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} g_{xx}&g_{xy}\\ g_{xy}&g_{yy}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
Ahora que sabemos cómo "medir" las distancias entre puntos cercanos, podemos utilizar una técnica típica de la física básica y integrar pequeños segmentos para obtener la distancia entre los puntos más alejados:
$$L=\int \mathrm{d}s= \int \sqrt{\sum_{\mu,\nu\in\{x,y\}}g_{\mu\nu}\mathrm{d}l^\mu \mathrm{d}l^\nu}$$
La generalización a dimensiones superiores es sencilla.
Tensores de curvatura
Como intenté argumentar en lo anterior, el tensor métrico define la geometría de nuestro múltiple (o espaciotiempo, en el caso físico). En particular, deberíamos ser capaces de extraer de él toda la información relevante sobre la curvatura de la variedad. Esto se hace construyendo el Tensor de Riemann (curvatura) $R^{\mu}_{\ \ \ \nu\rho\sigma}$ que es un objeto muy complicado que puede, por analogía con la visualización de la matriz de la métrica, considerarse como una matriz de cuatro dimensiones, en la que cada índice puede tomar $N$ valores si hay $N$ coordenadas $\{x^1,\dots x^N\}$ en el colector (es decir, si se trata de un $N$ -espacio dimensional). Se define puramente en términos de la métrica de una manera complicada que no es demasiado importante por ahora. Este tensor contiene prácticamente toda la información sobre la curvatura de la variedad, y mucho más de lo que suele interesar a los físicos. Sin embargo, a veces es útil echar un buen vistazo al tensor de Riemann si uno realmente quiere saber qué está pasando. Por ejemplo, un tensor de Riemann que desaparece en todas partes ( $R^\mu_{\ \ \ \nu\rho\sigma}=0$ ) garantiza que el espacio-tiempo es plano. Un caso famoso en el que tal cosa es útil es en el Métrica de Schwarzschild que describe un agujero negro, que parece ser singular en el radio de Schwarzschild $r=r_s\neq 0$ . Al inspeccionar el tensor de Riemann, se hace evidente que la curvatura es realmente finita aquí, por lo que se trata de un coordenadas singularidad en lugar de una singularidad gravitacional "real".
Al tomar ciertas "partes" del tensor de Riemann, podemos descartar parte de la información que contiene a cambio de tener que tratar sólo con un objeto más simple, el tensor de Ricci:
$$ R_{\nu\sigma}:=\sum_{\mu\in \{x^1,\dots x^N\}} R^\mu_{\ \ \ \nu\mu\sigma}$$
Este es uno de los tensores que aparecen en las ecuaciones de campo de Einstein. el segundo término de las ecuaciones presenta el Ricci escalar $R$ que se define, una vez más, por contratación (una palabra elegante para "sumar sobre todos los valores posibles de algunos índices") el tensor de Ricci, esta vez con el inversa métrica $g^{\mu\nu}$ que se puede construir a partir de la métrica habitual mediante la ecuación
$$\sum_{\nu\in\{x^1,\dots,x^N\}}g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}= 1\ \text{if }\mu=\rho\ \text{and }0\ \text{otherwise}$$
Como se prometió, el escalar de Ricci es la contracción del tensor de Ricci y la métrica inversa:
$$R:=\sum_{\mu,\nu\in\{x^1,\dots x^N\}}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} $$
Por supuesto, el escalar de Ricci contiene de nuevo menos información que el tensor de Ricci, pero es aún más fácil de manejar. Basta con multiplicarlo por $g_{\mu\nu}$ vuelve a dar como resultado una matriz bidimensional, al igual que $R_{\mu\nu}$ y $T_{\mu\nu}$ son. La combinación particular de tensores de curvatura que aparece en las ecuaciones de campo de Einstein se conoce como Tensor de Einstein
$$ G_{\mu\nu}:=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu} $$
La constante cosmológica
Hay un término que hemos omitido hasta ahora: El término de la constante cosmológica $\Lambda g_{\mu\nu}$ . Como su nombre indica, $\Lambda$ es simplemente una constante que multiplica la métrica. Este término se pone a veces en el otro lado de la ecuación, como $\Lambda$ puede verse como una especie de "contenido energético" del universo, que puede agruparse más adecuadamente con el resto de la materia que está codificada por $T_{\mu\nu}$ .
La constante cosmológica es principalmente de interés porque proporciona una posible explicación para la (in)famosa energía oscura que parece explicar ciertas observaciones cosmológicas importantes. Si la constante cosmológica es realmente distinta de cero en nuestro universo es una cuestión abierta, así como la explicación del valor que las observaciones sugieren para ella (el llamado problema de la constante cosmológica alias "la peor predicción de la física teórica jamás realizada", uno de mis intereses personales).
PS. Como se ha señalado en los comentarios, si te ha gustado esto puede que también te guste leer esta pregunta y las respuestas a la misma, que abordan que otros importante ecuación de la relatividad general, que describe el movimiento de las "partículas de prueba" en los espacios-tiempo curvos.
