Teorema de la traza para $L^2$ espacios.

Question

En el capítulo 5 de Ecuaciones diferenciales parciales de Evans (sección 5.5) define el operador de traza para un dominio acotado $\Omega$ con una suavidad dada como,

$T:H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$

Cuando este operador es continuo, es decir, $\|\gamma u\|_{L^2(\partial\Omega)}\leq C\|u\|_{H^1(\Omega)}$ .

Mi pregunta es si existe un operador de rastreo continuo para la función en $L^2(\Omega)$ . Es decir $\gamma: L^2(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ s.t, $\|\gamma u\|_{L^2(\partial\Omega)}\leq C\|u\|_{L^2(\Omega)}$ .

El operador de traza se define para las funciones continuas y luego se extiende a las funciones en $H^1$ . Como las funciones continuas son densas en $L^2$ Creo que el resultado debería mantenerse.

La segunda pregunta que tengo es si el operador de traza tiene una inversa continua, es decir, si existe un $T^{-1}:L^2(\partial\Omega)\rightarrow H^1(\Omega)$ que también es continua. Puedo encontrar un resultado para $\Omega=\mathbb{R}^d$ pero no en el caso de los límites $\Omega$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

1) No. La frontera del dominio en general tiene medida cero. La evaluación de un $L^2$ -en un conjunto de medida cero no está bien definida. El argumento de la continuación no funciona, ya que el mapeo $\gamma : H^1 \subset L^2(\Omega) \to L^2(\partial\Omega)$ no está acotado en el sentido de que no hay $C>0$ tal que $\|\tau u\|_{L^2(\partial\Omega)}\le C \|u\|_{L^2(\Omega)}$ para todos $u\in H^1$ .

2) Esto no es cierto. El operador de rastreo de $H^1$ a $L^2(\partial\Gamma)$ es compacto en general. Hay que utilizar los espacios de Sobolev-Slobodecki para conseguir la invertibilidad.