Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico finito. Demostrar que si $n$ es un divisor de $|G|$ entonces existe un elemento de orden $n$ en $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico finito. Demostrar que si $n$ es un divisor de $|G|$ entonces existe un elemento de orden $n$ en $G$ . ¿Cuántos elementos de este tipo hay?

Mi intento:

Dejemos que $|G| = m$ .

Desde $n$ es un divisor de $|G| = m$ existe algún número entero $k$ tal que $\frac{m}{n} = k$ . Queremos mostrar que hay un elemento $h \in G$ tal que $h^n = e$ .

Dejemos que $g \in G$ sea el generador de este grupo cíclico.

$$g^{\frac{m}{n}} = h \Rightarrow g^m = h^n = e$$

Para cualquier $s < n$ tenemos $h^s = g^{s \frac{m}{n}} \neq e$ y por lo tanto el orden del elemento $h$ es $n$ .

Mis preguntas:

1. ¿Es correcto este razonamiento?
2. ¿Cómo puedo saber cuántos elementos de este tipo hay?

Answer 1

Como la respuesta sobre la existencia ya está dada, sólo responderé a su segunda pregunta sobre cuántos números de este tipo existen. Un número m en $\mathbb Z _n$ es de orden $d$ si $gcd(n,m) = \frac n d$ porque queremos $m * k$ para un mínimo $k$ para ser 0 módulo n. De aquí sabemos que el número de tales elementos es $\varphi (\frac {n}{d})$ (donde $\varphi(n)$ es el número de enteros positivos hasta n que son relativamente primos de n) ya que queremos elementos de la forma $k * d$ donde gcd(k, $\frac n d $ ) = 1.

Answer 2

Pregunta: "Sea G un grupo cíclico finito. Demostrar que si n es un divisor de |G| entonces existe un elemento de orden n en G".

Respuesta: Dejemos que $G:=\{e,g,g^2,..,g^{m-1} \}$ avec $g^m=e$ por lo que $\#G=m$ y asumir $m=kn$ . Sea $u:=g^k$ . A continuación $u^n=g^{nk}=g^{m}=e$ por lo que

$$H(n):=\{e,u,u^2,..,u^{n-1}\} \subseteq G$$

es un subgrupo con $n$ elementos. Por lo tanto, para cualquier número entero $n$ dividiendo $\# G$ existe un subgrupo $H(n) \subseteq G$ avec $n$ elementos.

Comentario: "No has demostrado que el orden de u es realmente n. - aschepler 2 hours ago"

Note : Si $u^i=e$ para $i \leq n-1$ lo siguiente $u^i=g^{ik}=e$ et $ik< m$ Por lo tanto $g$ no es un generador de $G$ . Por lo tanto, $n$ es el menor número entero con $u^n=e$ .