Incrustación topológica cerrada de variedades algebraicas complejas en una variedad suave

Question

En el libro "Representation Theory and Complex Geometry" de Ginzburg-Chriss página 93 afirman que (la analización de) toda variedad algebraica compleja admite una incrustación cerrada en una variedad lisa. En realidad, no proporcionan una referencia para esta afirmación. ¿Por qué es esto cierto?

Para las variedades cuasi-proyectivas, la afirmación es bastante obvia. Pero me parece que no imponen esta restricción. Además, diría que necesitamos que la variedad esté separada para este pero (puedo vivir con eso).

Answer 1

Me costó muchísimo encontrar esta referencia (y de hecho la encontré en este puesto ). Existe un teorema de Acquistapace-Broglia-Tognoli en Un teorema de incrustación para espacios analíticos reales que se encuentra:

Teorema. Dejemos que $X$ sea un paracompacto conectado $n$ -y supongamos que $q := \sup_{x \in X} \dim T_x X < \infty$ . Entonces $X$ admite un sistema cerrado $C^\omega$ -inmersión en $\mathbb{R}^{n+q}$ .

Se trata de una generalización del teorema de incrustación de Grauert para las variedades analíticas reales. De aquí obtenemos:

Corolario. Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica compleja separada. Entonces $X^{\mathrm{an}}$ admite una incrustación cerrada topológica en $\mathbb{R}^N$ para algunos $N$ .

Prueba. $X^{\mathrm{an}}$ es un espacio analítico complejo paracompacto (por tanto, también real) con un número finito de componentes conectados y con dimensiones del espacio tangente acotadas. Ahora, aplica el teorema.

Observación 1. Lo único que me sorprende es por qué el artículo de ABT sólo tiene una cita en MathSciNet desde 1979; no sé si hay otra fuente para el teorema anterior (en realidad, espero que sea correcto).

Observación 2. No sé si no hay un argumento más sencillo.