Pregunta obvia sobre un juego de peines

Question

Definir el conjunto $A = \{ (x,0) : 0 \leq x \leq 1 \}$ et $B_n = \left\{\left( \frac{1}{n},y\right) : n \in \mathbb{N}, 0 \leq y \leq 1 \right\}$

Entonces, ¿se deduce que $A \cup B_n$ ¿está conectado a la ruta?

Parece obvio, pero ¿cómo puedo comprobarlo? Gracias.

Answer 1

$A$ y cada $B_n$ son conjuntos convexos, por lo que son caminos conectados. Como $B_n\cap A\ne\emptyset$ el conjunto $B_n\cup A$ es un camino conectado para cada $n$ . Finalmente, $A\bigcup_{n\in\Bbb N}B_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}A\cup B_n$ es un camino conectado ya que $\bigcap_{n\in\Bbb N}A\cup B_n =A\ne\emptyset$ y la unión de conjuntos conectados por caminos es conectada por caminos si su intersección no es vacía.