¿Demostrar que la suma de una función continua inyectiva y Lipschitz es inyectiva?

Question

Supongamos que $H:A\rightarrow B$ puede escribirse como $H(x) = x + h(x)$ , donde $h$ es Lipschitz en $A$ con la constante $0 < \delta < 1$ . Necesito demostrar que H es inyectiva.

Aquí está mi intento de probar esto, por favor, hágame saber si es correcto.

La prueba: Supongamos que H no es inyectiva y por tanto $H(x) = H(y) \text{ for } x\neq y$ . Esto se puede escribir como $x+h(x) = y+h(y)$ . Consideremos ahora una función constante tal que $h(x) = h(y)$ que es obviamente Lipshitz pero esto implica que $x=y$ lo cual es una contradicción y por lo tanto $H$ es inyectiva.

Answer 1

Supongamos que $H(x)=H(y)$ entonces $h(x)-h(y) = y-x$ . Desde $d(h(x),h(y)) \le \delta d(y,x)$ obtenemos $d(x,y) \le \delta d(x,y)$ y la única solución a esto es $x=y$ .

Answer 2

Yo lo vería así: tienes dos funciones reales, una, digamos, $f$ es $(1 - \epsilon)$ -contratación y otros $g$ $(1 + \delta)$ -expansión, $\epsilon > 0, \delta \ge 0 $ y quieres demostrar la inyectividad de su suma. Si se observan sus gráficas, entonces para cada punto de la gráfica de $f$ estará en un cono como este $><$ con el vértice en ese punto y la gráfica de $g$ estará dentro de la parte vertical de la similar, pero con ángulo obtuso. Con un poco de uso de la desigualdad del triángulo verás que $C(f + g)$ se ampliará para algunos $C$ los mapas expansivos son obviamente inyectivos y la multiplicación es una biyección.