División de polinomios con coeficientes desconocidos

Question

Todo comenzó cuando intentaba calcular los puntos de intersección entre dos elipses posiblemente rotadas, cada una caracterizada por una ecuación como la siguiente: $$\frac{((x-h) \cos A + (y-k) \sin A)^2}{a^2}+\frac{((x-h) \sin A - (y-k) \cos A)^2}{b^2}=1$$ donde $(h, k)$ reflejar la ubicación de su centro, $a$ y $b$ reflejan las longitudes de los ejes horizontal y vertical antes de la rotación, y $A$ refleja el ángulo de rotación en radianes.

Intentando seguir las sugerencias encontradas en este SE respuesta y resolviendo para $t$ En algún momento llego a la siguiente división polinómica:

$$\frac{\alpha t^8+\beta t^7+\gamma t^6+\delta t^5+\epsilon t^4+\zeta t^3+\eta t^2+\theta t+\iota}{\kappa t^8+\lambda t^6+\mu t^4+\nu t^2+\xi}$$ donde los coeficientes griegos representan expresiones constantes en términos de $h$ , $k$ , $a$ , $b$ y $A$ .

En este punto, estoy considerando enchufar las expresiones en los coeficientes, y luego tratar de factorizar las cosas en la ecuación resultante, pero eso se ve desordenado porque las expresiones constantes no son exactamente simples. Esta división, sin embargo, parece mucho más sencilla, así que también me pregunto si podría dividir un polinomio en el otro y obtener un polinomio de menor grado en el que podría introducir las expresiones constantes y seguir resolviendo para t en términos de $h$ , $k$ , $a$ , $b$ y $A$ .

Hace tiempo que no miro un polinomio, y mucho menos lo simplifico, así que he estado buscando para refrescar mi memoria sobre la división de polinomios. Pero todos los ejemplos que he encontrado hasta ahora han sido procedimientos bastante engorrosos con coeficientes numéricos, así que mi pregunta es, ¿existe un método general para la división de polinomios con coeficientes desconocidos?

Gracias.

Answer 1

En general no hay una forma canónica de simplificar una división de polinomios si no se conocen los coeficientes. No se me ocurre una forma en la que saber que los coeficientes del denominador son cero sirva de algo.

¿Quizás pueda evitar la división? ¿Cuál es la ecuación que acompaña a esa fracción? Quizás puedas simplemente multiplicar esa ecuación por el denominador de la fracción para terminar en un polinomio "simple" de 8º grado. Por ejemplo,

$$\frac{\alpha t^8+\beta t^7+\gamma t^6+\delta t^5+\epsilon t^4+\zeta t^3+\eta t^2+\theta t+\iota}{\kappa t^8+\lambda t^6+\mu t^4+\nu t^2+\xi}=\rho$$

se simplifica a

$$(\alpha-\rho\kappa) t^8+\beta t^7+ (\gamma-\rho\lambda) t^6+\delta t^5+ (\epsilon-\rho\mu) t^4+\zeta t^3+ (\eta-\rho\nu) t^2+\theta t+ (\iota-\rho\xi)=0$$

Sigue siendo mucho más alto que el 4º grado que reclama la respuesta a la que haces referencia, así que presumiblemente hiciste algo mal en el camino hacia esa ecuación.