Estuve leyendo en MSE que, hasta el isomorfismo, hay 2 grupos de orden 45. ¿Cómo lo sabemos? ¿Hay alguna forma de calcular cuántos grupos de orden 10, 15, etc. existen hasta el isomorfismo?
Respuesta
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DonAntonio
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Como dices, por los teoremas de Sylow un grupo $\;G\;$ de orden $\;45\;$ tiene un único subgrupo $\;P\;$ o pedir $\;3^2=9\;$ y un único subgrupo $\;Q\;$ de orden $\;5\;$ , lo que significa que $\;P,\,Q\lhd G\;$ . Además, ambos $\;P,\,Q\;$ son abelianas y también lo es su producto, lo que genera su producto directo ya que $\;P\cap Q=\{1\}\;$ y de todo esto se deduce que
$$G=PQ=P\times Q$$
et $\;G\;$ es por lo tanto siempre abeliana. Como hay dos grupos hasta el isomorfismo de orden $\;p^2\;$ para cualquier primo $\;p\;$ obtenemos dos grupos únicos (hasta el isomorfismo) diferentes de orden $\;45\;$ (ambos abelianos, de nuevo):
$$G_1=C_9\times C_5\;\;,\;\;\;G_2=C_3\times C_3\times C_5\cong C_3\times C_{15}$$
Lo anterior es un caso particular de lo general: si $\;p<q\;$ son dos primos tales que $\;p\,\nmid\,q-1\;$ entonces hay dos grupos únicos de prder $\;p^2\cdot q\;$ hasta el isomorfismo
